Актуально для выпускников 11 класса, просьба помочь с тестом, вариант 20 :)

1) 1 труба наполняет бассейн за х час, а за 1 час 1/x часть бассейна,
а 2 труба за у час, а за 1 час 1/y часть бассейна.
Вместе они наполнят бассейн за 3 ч 45 мин = 3 3/4 = 3,75 ч
3,75/x + 3,75/y = 1
Если включить сначала 1 трубу, наполнить 1/2 бассейна за время t, и включить 2 трубу,
то весь бассейн будет наполнен за 8 часов.
t/x = 1/2
(8-t)/y = 1/2
Получили систему из 3 уравнений
{ 3,75*(1/x + 1/y) = 1
{ t = x/2
{ 8 - t = 8 - x/2 = y/2
Преобразуем
{ 1/x + 1/y = 1/3,75
{ x/2 + y/2 = 8

{ (x + y) / (xy) = 100/375 = 4/15
{ x + y = 16
Получаем
{ x + y = 16
{ 16/(xy) = 4/15 = 16/60

{ x + y = 16
{ xy = 60
По теореме Виета x, y - корни кв. уравнения, у которого a=1, b=-16, c=60
z^2 - 16z + 60 = 0
(z - 6)(z - 10) = 0

Ответ: 1) x = 6, y = 10; 2) x = 10, y = 6

2) По свойству логарифмов 1/log(x-3) 2 = log2 (x-3)
Кроме того, x-3 > 0, x > 3
Разность логарифмов с одним основанием равна логарифму дроби
log2 (x-3) - log2 (x^2 - 2x - 3) = log2 [(x-3)/(x^2 - 2x - 3)] =
= log2 [(x-3)/((x-3)(x+1))] = log2 (1/(x+1)) = -log2 (x+1)


3) sin x - cos x = (2tg x - 1)/(tg x - 1)
Область определения
tg x =/= 1, x =/= Pi/4 + Pi*k
cos x =/= 0, x =/= Pi/2 + Pi*k
Преобразуем уравнение
sin x(tg x - 1) - cos x(tg x - 1) = 2tg x - 1
sin^2 x/cos x - sin x - cos x*sin x/cos x + cos x = 2sin x/cos x - 1
sin^2 x/cos x - sin x - sin x + cos x = (2sin x - cos x)/cos x
(sin^2 x - 2sin x*cos x + cos^2 x)/cos x = (2sin x - cos x)/cos x
sin^2 x - 2sin x*cos x + cos^2 x = 2sin x - cos x
1 - 2sin x*cos x = 2sin x - cos x
1 + cos x = 2sin x*(1 + cos x)
Два варианта решения
1) 1 + cos x = 0
cos x = -1
x1 = Pi + 2Pi*k
2) Делим все уравнение на 1 + cos x
1 = 2sin x
sin x = 1/2
x2 = Pi/6 + 2Pi*k
x3 = 5Pi/6 + 2Pi*k

4) (x+1)V(x-1) + (x-2)V(x+2) = 0
Область определения
x-1 >= 0, x >= 1
x+2 >= 0, x >= -2
Итог: x >= 1
(x+1)V(x-1) = - (x-2)V(x+2)
(x+1)^2 * (x-1) = (x-2)^2 * (x+2)
(x^2+2x+1)(x-1) = (x^2-4x+4)(x+2)
x^3+2x^2+x-x^2-2x-1 = x^3-4x^2+4x+2x^2-8x+8
x^2-x-1 = -2x^2-4x+8
3x^2 + 3x - 9 = 0
x^2 + x - 3 = 0
D = 1 - 4*1*(-3) = 13
x1 = (-1 - V(13))/2 < 1
x2 = (-1 + V(13))/2 > 1
Ответ: (V(13) - 1)/2

5) Не знаю

Не хочу. Слишком просто.