В каких случаях "И" выделяется с обоих сторон запятыми или с одной?

1) Деепричастие и деепричастный оборот, стоящий после сочинительного или подчинительного союза / союзного слова, отделяются от него запятой (такой оборот можно оторвать от союза, переставить в другое место предложения или изъять из предложения) .

Пример: Он бросил перо и, откинувшись на спинку стула, стал смотреть на залитую лунным светом поляну (Пермитов) . – Он бросил перо и стал смотреть на залитую лунным светом поляну; Жизнь устроена так, что, не умея ненавидеть, невозможно искренне любить (М. Горький) . – Жизнь устроена так, что невозможно искренне любить, не умея ненавидеть.

2) Два однородных деепричастия или деепричастных оборота, связанные одиночными сочинительными или разделительными союзами и, или, либо, запятой не разделяются.

Пример: Телефонист сидел, обхватив колени и опершись на них лбом (Бакланов) .

Если союз связывает не два деепричастия, а другие конструкции (сказуемые, части сложного предложения и т. д.) , то запятые ставятся в соответствии с правилами постановки знаков препинания при однородных членах, в сложносочинённом предложении и т. д.

Пример: 1. Я взял записку и, прочитав, сунул её в карман. Одиночный союз и связывает сказуемые (взял и сунул) и запятая ставится после союза;
2. Он остановился, задумавшись о чём-то, и, резко обернувшись, позвал часового. Одиночный союз и связывает два сказуемых (остановился и позвал) . Обстоятельства – деепричастные обороты относятся к разным сказуемым (остановился, задумавшись о чём-то; позвал, резко обернувшись) . Поэтому они с двух сторон отделены запятыми от других членов предложения.