Математические задачи) 6-7 класс

1. На каждой елке растет х шишек. Всего на 18 елках 18х шишек.
Упало всего 18х/2=2х шишек.
С какой-то елки упала половина – х/2. С какой-то елки упала треть – х/3. Итого точно упало х/2+х/3=5х/6. Осталось 2х-5х/6=7х/6 шишек, которые упали с пока не найденного числа деревьев.
Поскольку с деревьев падала половина и треть, то это или 2х/6, или 3х/6. Существует единственный способ поместить эти числа в 7х/6, т. е. 7х/6=2х/6+2х/6+3х/6.
Получается, что с трех елок упала треть шишек, с двух елок половина. Значит, ничего не упало с 18-2-3=13 елок.

2. Пусть первое число ab. Тогда второе число aabb.
По условию: 1000a + 100a +10b + b = 77 (10a + b)
Решая, получаем: 5a = b. Поскольку а и b меньше 10, то данному соотношению удовлетворяет единственное число 15.

это число 15

1) Пусть на каждой ёлке по 6 шишек. Тогда всего 108 шишек. Всего упало 12 шишек (108/9). С елей падало или 3 шишки, или 2 шишки. Известно, что как минимум с одной ели упало 3 шишки, и как минимум с одной - 2 шишки, осталось распределить 7 шишек. Очевидно, что 7 шишек распределятся по 2 + 2 + 3 шишки. Итого шишки падали с 5 елей.
Ответ: с 13 елей ничего не упало

2) не знаю

Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое?
Каждая цифра должна быть использована ровно один раз.

Решение:

Можно. 532 делится на 14, а 215 делится на 43.

Задача 2.

Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по местному времени.
В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город p и прибыл туда в 13.00 того же дня по p-скому времени.
Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени.
Сколько времени самолет находился в воздухе?
Ответ обязательно должен быть обоснован.

Решение:

Самолет отсутствовал в Москве 17 часов с 1.00 до 18.00,
при этом он находился на земле всего 7 часов с 7.00 до 12.00 по местному времени в городе N
и с 13.00 до 15.00 местного времени в городе p.
Следовательно, все остальное время он летел.

Задача 3.

У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2,, 55 кг.
Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов.
Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг.
Сможет ли он этого добиться?

Решение:

Ответ. Да.

1. Петя может просто повторять ходы Васи.
В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг и немедленно проиграет.

2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями.
В конце игры Вася выложит все гири, а Петя все, кроме 50-килограммовой.
Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.

Задача 4.

Пусть S(n) сумма цифр числа n.
Найдите все n, для которых

Решение:

Ответ. Таких n не существует.

Доказательство. Все n слагаемых в левой части дают одинаковый остаток при делении на 3, совпадающий с остатком от деления на 3 самого числа n.
Перебирая три различных случая, получаем, что остаток от деления левой части на 3 равен либо 0, либо 1.
Но правая часть число 2000000 при делении на 3 дает в остатке 2.

Задача 5.

В треугольнике ABC ∠ A = 3 ∠ C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что ∠ ADC = 2 ∠ C.
Доказать, что AB + AD = BC.

Решение:

Продолжим отрезок BA за точку A и отложим на нем отрезок AE = AD.
Заметим, что ∠ EAC = 180 – ∠ BAC = 180 – 3 ∠ C, поэтому треугольники ADC и AEC равны
(по сторонам AC, AD = AE и углу между ними).
Отсюда находим углы треугольника AEC: ∠ AEC = ∠ ADC = 2 ∠ C, ∠ ACE = ∠ C, т. е. ∠ BCE = 2 ∠ C, поэтому треугольник BEC равнобедренный.
Таким образом, AB + AD = AB + AE = BE = BC.