Как подступиться к решению в целых числах уравнения 3^m+4^n=5^k ?

похоже на пифагорову тройку
m=n=k =2

Сначала рассмотрим остатки при делении на 4. Ясно, что степень 5 будет давать в остатке 1, и это же будет верно для 3a, откуда a чётно.

Далее, рассмотрим остатки при делении на 3. В левой части равенства остаток равен 1. Это значит, что 5 возводится в чётную степень, так как остатки при делении на три у степеней 5 чередуются. Получили, что c также чётно.

Положим теперь a=2m, c=2n. Уравнение можно переписать в виде 4b=(5n−3m)(5n+3m). В правой части оба сомножителя чётны; разделим каждый из них на 2, что приводит к
4b−1=5n−3m2⋅5n+3m2.

Ясно, что каждый из сомножителей в правой части будет степенью двойки. Но сумма этих сомножителей равна 5n, и потому нечётна. Так может быть только если один из этих сомножителей равен 1. Понятно, что им может быть только меньший из сомножителей, откуда сомножители равны 1 и 4b−1, соответственно. Вычитая теперь из большего сомножителя меньший, мы имеем, с одной стороны, 3m (см. уравнение выше) , а с другой -- у нас получилось 4b−1−1. Теперь 3m можно представить как разность квадратов, то есть
3m=(2b−1−1)(2b−1+1).
Получившиеся сомножители -- это степени тройки, но разность большего и меньшего равна 2, то есть это 1 и 3. Тем самым, b=2, m=1, a=2m=2, то есть 5c=32+42=52, и c=2.

Уравнение имеет в точности одно решение в натуральных числах: a=b=c=2.

задачу можно закрывать