Решите в целых числах уравнение 3х^2+5xy-2y^2=17.

вызов принят.

1) Два решения (5; -2); (-5; 2).

2) Ответ:

a < -1, нет решений;
а = -1, x = -1;
-1 < а < -3/4, x₁,₂ = 2a + 1 ± 2√(a + 1)
a = -3/4, x₁ = -3/2; x₂ = 1/2;
а > -3/4, x = 2a + 1 + 2√(a + 1).

Преобразуем
3х^2+5xy-2y^2=17
3x^2+6xy-xy-2y^2=17
3x*(x+2y)-y*(x+2y)=17
(х+2у) (3х-у) =17
Теперь решаем две системы.
Первая
х + 2у = 1
3х – у = 17
Откуда
у = -2
х = 5
Вторая
х + 2у = 17
3х – у = 1
Эта система целостных решений не имеет.
Ответ:
у = -2
х = 5

решим номер три

3
перобразуем
y=5sinx-2cos2x=5sinx-2(1-2sinx^2)=5sinx-2+4sinx^2

очевидно что максимум функция принимает, когда sinx=1, т. е. y=7
а насчет минимального значения функции не все так очевидно
найдем производную и приравняем к нулю
y'=5cosx+8cosx sinx=cosx(5+8sinx)=0

получим
cosx=0 или sinx=+-1
5+8sinx=0 или sinx=-5/8

проверим и поймем что sinx=+-1 это точки максимума,
sinx=-5/8 это точки минимума.
значит функция принимает наименьшее значение 5(-5/8)-2+4*(25/64)=-57/16

Ответ область значений [-57/16;7]

а теперь решим номер два

2
возведем обе части в квадрат, получим
2x+3=(x-2a)^2

решим относительно x
x1=1+2a-2sqrt(1 + a)
x2=1+2a-2sqrt(1 + a)

значит
если a<-1, решений нет
если a=-1, решение одно x=-1 Проверим x-2a>0 1>0
если a>-1, решение два. Проверим на x-2a>0
Первый корень
{x=1+2a-2sqrt(1 + a)
{x-2a>0

{x=1+2a-2sqrt(1 + a)
{x>2a

1+2a-2sqrt(1 + a)>2a
1-2V(1+a)>0
2V(1+a)<1
1+a<1/4
a<-3/4 не подходит так как a>1

Второй корень
{x=1+2a+2sqrt(1 + a)
{x-2a>0

{x=1+2a+2sqrt(1 + a)
{x>2a

1+2a+2sqrt(1 + a)>2a
1+2V(1+a)>0
дальше можно не рассматривать и так понятно что выражение всегда положительное
тем самым
если a>-1, решение одно x=1+2a+2sqrt(1 + a)

Ответ
если a<-1, решений нет
если a=-1, решение одно x=-1
если a>-1, решение одно x=1+2a+2sqrt(1 + a)