3 окружности пересекаются в 6 точках. Доказать, что их общие хорды или продолжения пересекаются в 1 точке.

1.Для любой точки Х, лежащей внутри или вне окружности и любых двух прямых AB и CD, пересекающих эту окружность (точки A,B,C, D – точки пересечения) выполняется равенство XA*XB=XC*XD.

Действительно, если Х – внутри окружности, то это свойство отрезков пересекающихся хорд.

Если Х – вне окружности, то XA*XB и XC*XD -произведение отрезков секущих, каждое из которых равно квадрату отрезка касательной, проведенной из этой точки Х, следовательно, эти произведения равны между собой.

2.Пусть AB – общая хорда первой и второй окружности, CD – второй и третьей, XY – первой и третьей. О – пересечение прямых AB и СD. Нам нужно доказать, что XY через проходит через О.

Проведем прямую ОХ. Пусть ОХ пересекает первую и третью окружности вторично соответственно в точках Y1 и Y3 (либо Y1=X, если OX оказалась вдруг касательной к первой, либо Y3=X, если OX оказалась вдруг касательной к третьей)

Имеем равенства
OA*OB=OX*OY1 (из первой окружности)
OA*OB=OC*OD (из второй окружности)
OC*OD=OX*OY3 (из третьей окружности)

Тогда ОХ*OY1=OX*OY3.

Y1 совпадает с Y3, т. е. это точка, принадлежащая первой и третьей окружности, отличная от Х, т. к. обе точки с Х совпасть не могут – тогда третья и первая окружности касаются.

Следовательно, Y1=Y3 – вторая точка пересечения первой и третьей окружности, т. е. Y лежит на прямой ОХ, т. е. XY также проходит через точку О, прямые AB, CD и XY пересекаются в одной точке.

Решение твоей задачи здесь!