Окружность, вписанная в равнобокую трапецию ABCD(AD||BC,AD>BC), касается боковой стороны CD в точке N и основания AD в

представьте "стержневую" конструкцию:
квадрат ABCD с вписанной окружностью и периметром 30см.,
т.е. сторона квадрата рана 30:4=7,5см., а радиус окружности 7,5:2=3,75см.

Зафиксируем радиус окружности,
а верхнюю сторону ВС будем уменьшать до нуля.
При этом - чтоб выполнялось условие касания окружности всех сторон и неизменность периметра!.

При ВС=0 получим равносторонний треугольник со стороной 30:3=10см. Равнобокая трапеция, что в условии, - это промежуточный вариант "деформации" фигуры из квадрата в равносторонний треугольник!
При этом - сторона увеличилась на 10-7,5= 2,5см.

Поскольку MK:KN=5:2, то всего на этом отрезке MN 5+2= 7 частей!
У квадрата - диагональ его делит в отношении 3,5:3,5, т.е. поровну!
У треугольника - отношение 7:0,
т.е. в результате "деформации квадрата в треугольник произошла сдвижка точки К на 3,5части.

Итак, 3,5 частям сдвижки точки К соответствует 2,5см увеличения стороны фигуры.
Чтоб из квадрата с пропорцией 3,5:3,5 перейти к трапеции, у которой отношение MK:KN=5:2, необходима сдвижка точки К на 1,5 части!

Итак, имеем пропорцию: 3,5 частям сдвижки точки К соответствует 2,5см, а 1,5 части - соответстует х см.

Решая, получим:
х= (2,5*1,5)/3.5 =3,75/3,5 =1,0714см.

Таким образом, сторона квадрата при "деформации" в трапецию - увеличилась с 7,5см на величину х= 1,0714см.

Значит сторона основания трапеции рана 8,5714см.,
а радиус окружности, - поскольку он был изначально зафиксирован из условия, чтоб окружность была вписанной, - равен 3,75
----------------------------------
ОТВЕТ:
R=3,75,
сторона основания трапеции = 8,7514см.
(точное значение: 3,75/3,5)