Признаки однородности сказуемых, или Запятая перед союзом "и" в ССП не ставится, если?..

Вы, как всегда, сами задали вопрос, сами на него и ответили. Скажу так: чувствовать «мелодику языка» – это здорово, но слишком часто в таком случае чувства нас подводят. А вот чувство языка, подкреплённое твёрдыми знаниями, – это совсем другое дело.

Оба предложения с точки зрения их структуры абсолютно одинаковы: сложносочинённые с соединительным союзом И.

[Необходимо закутать горло шарфом ] и [надо попытаться прополоскать его содой] .
[С деревьев капало] и [вокруг пахло листвой] .

Схемы:

[сказуемое ...] и [сказуемое ...].
[... сказуемое] и [... сказуемое ...].

И в первом, и во втором предложениях обе части представляют собой безличные предложения, на этом основании запятую перед союзом И СТАВИТЬ НЕ НАДО, что бы там ни нашёптывали нам наши чувства. Можно ещё уточнить: запятые не нужны, так как в составе ССП есть безличные предложения однородного состава (это из Вашей таблички) .

Отличаются данные предложения видом и структурой сказуемых в них. Во втором предложении простые глагольные сказуемые, выраженными личными глаголами, употреблёнными в значении безличных.

В первом – составные глагольные сказуемые, вспомогательная часть которых выражена словами категории состояния в сочетании с нулевой связкой быть (в прошедшем и будущем времени эта связка приобретает вид было, будет: необходимо было закутать, надо было попытаться; необходимо будет закутать, надо будет попытаться.

Так что слово надо никак не может «создавать добавочного впечатления к основному предложению» : оно является вспомогательной частью сказуемого во второй части ССП и никакого отношения к первой части не имеет. Кстати, в ССП деления предложений на основные и неосновные нет, да и в русском языке таких терминов не существует.

Добавлю к сказанному: ненужность запятой в первом предложении объясняется ещё наличием в составе сказуемых синонимических слов, в данном случае слов категории состояния НЕОБХОДИМО, НАДО, так как в справочнике Д. Розенталя говорится:

2. Запятая перед союзами и, да (в значении «и») , или, либо не ставится, если части сложносочинённого предложения: <...>

е) выражены двумя безличными предложениями, имеющими синонимические слова в составе сказуемых, например: Необходимо срочно рассмотреть авторские заявки и надо дать по ним заключение. (Д. Э. Розенталь. Справочник по правописанию и литературной правке. XXVII. ЗНАКИ ПРЕПИНАНИЯ В СЛОЖНОСОЧИНЕННОМ ПРЕДЛОЖЕНИИ. §104. Запятая в сложносочиненном предложении) .

И стреляться не надо...

Я не редактор или филолог, но интересуюсь этими вопросами, поэтому могу высказать лишь свои интуитивные соображения. Мне говорят, что у меня есть ощущение мелодики языка, хотя правил я не знаю.

В первом предложении я бы поставила запятую, чисто интуитивно. Там слово "надо" создаёт впечатление добавочного смысла к основному предложению. Но как это определяется правилом, я не знаю. Буду искать, изучать.

А во втором - нет, считаю. Там ощущается просто перечисление разнородности. Вот, как-то так.