уважаемый математики, помогите понять смысл производной спасибо

Смысл в том, что если рассматривать почти любой процесс, то в каждый момент времени и в каждой точке пространства, занятого этим процессом, производная есть число, которое указывает на то, как быстро (медленно) происходят изменения в этой точке в каждый момент времени.
Например, производная в точке - скорость изменения скорости в этой точке (ускорение) ; скорость изменения (тангенса) угла касательной в точке касания, т. е. "крутизна" кривой в точке; в пространстве - скорость и направления изменения ветра или течения (вектор с координатами из производных - градиент) .
То есть там где необходимо измерять изменения без производной ни как)

1) Физический (механический) смысл: Если при прямолинейном движении путь S, пройденный точкой, есть функция от времени t, т. е S=f (t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т. е V (t)= f" (t)
2) Геометрический смысл производной. Если в точке Х нулеое к графику функции провести касательную, то число производной от х нулевого есть тангенс х между этой касательной и положительным направлением оси Ох. f" от х нулевого= тангенс альфа.

ну смотря какой смысл тебя интересует, попытаюсь объяснить на легком примере. производная от объема куба а^3 будет 3а^2, те это 3 площади сторон, которые образуют этот обем, но уже в плоскотях.
производная от расояния по времени будет скорость, т е расстояние во времени, т е производная это некоторая величина, которая образовыевает большую величину. сумбурно объяснила, но думаю, что основной смысл ты поймешь

Ну, это площадь (не знаю как на руском) криволинейной трапеции, ограниченой функцbей и прямыми x=a x=b