в чём заключается геометирический и механический смысл производной

Геметрический смысл: ПРОИЗВОДНАЯ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функии в выбранной точке.
Физический смысл надо находить в каждом конкретном случае!

Геометрический смысл: тангенс угла наклона касательной к функции от которой берётся производная в точке, где берётся производная. Физический смысл: если данную функцию считать зависимостью пути от времени, то её производная в какой-либо точке-это мгновенная скорость в данной точке (т. е. в данный момент времени, поскольку в данном случае точка-это момент времени.

Геометрический смысл-производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведенной в этой точке. Механический смысл-производная равна скорости.

http://do.rksi.ru/library/courses/mat_ec/tema2_1.dbk
вот здесь все оч подробно

Геометрический - касательная в точке, механический - скорость процесса.

Вообще в таких случаях нужно гуглить, но так как это производная, то вполне объясним вопрос. Значит так, геометрический смысл производной.
Вообще производная первого порядка выражается пределом разностного отношения. Это отношение в вики найти можно. Геометрический смысл производной есть касательная к функции f(x). Представим гиперболу, и движующуюся к на одной из ветвей точке другую точку, так как предел выражается через lim x стремящегося к нулю, но не достигающего его, то эта точка будет приближаться, но не соприкоснётся с другой точкой, и если провести через эти две точки прямую, то это и будет геометрический смысл производной. Он выражается через угловой коэфицент k или tg угла альфа.

в том чтобы его понять....