Можно ли ?при помощи( в теории) БАКа коллайдера совершить маленькое чудо сделать из свинца золото?

Не в коллайдере, а в ядерном реакторе и не из свинца, а из ртути.
Эксперименты проводились в 60-х годах. Ртуть через несколько недель покрывалась тоненькой корочкой золота. Этому золоту применения так и не нашлось. Оно было грязным и в химическом смысле. Много примеси ртути, которую очень дорого отделить. И грязным в радиационном смысле. Много примесей радиоактивных изотопов золота, которых тоже трудно отделить.
Эксперимент был проведен чисто из принципа, чтобы закрыть первую задачу алхимии. Из 4-х задач алхимии остались не решены сейчас только две (вторая - эликсир вечной жизни и четвертая - гомункулус) . Третья задача - вечный двигатель - была закрыта еще в 19-м веке.
В БАКе из свинца (атомный номер 82) сделать золото (атомный номер 79) никак невозможно. Вы скорее получите висмут (атомный номер 83). Дело в том, что в БАКе разгоняют в магнитном поле протоны, а не нейтроны. Нейтроны не имеют электрического заряда и поэтому в магнитном поле БАКа не разгоняются. Протоны, попавшие в ядро свинца, только увеличат его атомный номер. А нам, наоборот, надо его уменьшить.
Но в ядерном реакторе принципиально можно из свинца сначала сделать таллий (номер 81), затем из таллия ртуть и уже потом золото. То есть нейтроны попадая в ядра атомов делают их радиоактивными изотопами, которые выбрасывают из себя лишние нейтроны с протоном и тем самым уменьшают атомный номер. Понятно, что в этом золоте будет куча примесей и ртути и таллия и свинца.

это могли сделать еще древние синхрофазотроны.

Это и в Средние Века умели делать без помощи всяких научных прибамбасов.

Конечно можно. Только ускорить частицы можно и электрическим полем, и даже в домашних условиях.

нет, только из олова