Нужна ли лицензия на скупку золота и серебра и сколько она стоит в Украине?

Это называется: ювелирная лицензия. Первым делом необходимо иметь в наличии предприятие - ООО, ЗАО, некоммерческую организацию или же ИП.
Вам сюда: http://www.zolotishko.ua/companies/gosudarstvennaya-probirnaya-slujba/

Постановка в Пробирной палате обязательна для следующих видов деятельности:

Производство драгоценных металлов, камней, ювелирных изделий.
Торговля драгоценными металлами, камнями и изделиями из них.
Скупка драгоценных металлов, камней, ювелирных изделий и торговля ими (деятельность ювелирных ломбардов).
Ремонт часов и ювелирных изделий, изделий из драгоценных металлов и камней.
Производство драгоценных металлов, камней, ювелирных изделий.
Обработка драгоценных/полудрагоценных металлов, камней, ювелирных изделий, отходов и лома драгоценных металлов.
Диагностика и экспертиза драгоценных металлов, камней и ювелирных изделий.
Участие в выставках драгоценных металлов, камней, ювелирных изделий.

Без постановки на учет в Пробирной палате, осуществление этих видов деятельности запрещено законом и влечет за собой административную ответственность.
При постановке на специальный учет в Пробирной палате выдается:

Свидетельство Пробирной палаты (Свидетельство государственной инспекции пробирного надзора государственной пробирной палаты), в простонародье называемая:
ювелирная лицензия;
лицензия на продажу ювелирных изделий;
лицензия на торговлю ювелирными изделиями.
Карта постановки на специальный учет.

Требуемые документы для постановки на учет в пробирную палату:

Для ИП:

Нотариально заверенная копия паспорта.
Нотариально заверенная копия свидетельства о государственной регистрации физического лица в качестве индивидуального предпринимателя.
Свежая копия уведомления территориального органа статистики – не заверять.
Оригинал (или нотариально заверенная копия) выписки из ЕГРИП.
Нотариально заверенная копия уведомления о постановке на учет физического лица в налоговом органе в качестве индивидуального предпринимателя.
Нотариально заверенные копии документов, свидетельствующих о владении помещениями для осуществления операций с драгоценными металлами и драгоценными камнями (на правах собственности, оперативного управления, аренды, субаренды).
Нотариальная доверенность на наших поверенных лиц.
Подлинники ранее выданных инспекцией регистрационных документов (при повторной постановке на учет).