Какой орган милиции, или чего то там еще занимается официальной регистрацией

ФМС - федеральная миграционная служба

УФМС
но идти надо с тем, кто вас регистрирует по своему адресу

Этим сейчас занимается не милиция, а Федеральная миграционная служба в лице территориальных управлений-УФМС. И для россиян тоже она.

Регистрация по месту жительства (то что по-старинке в обиходе называют "пропиской") или регистрация по месту пребывания вовсе не являются обязательным атрибутом российского гражданина. Если гражданин РФ не имеет места жительства или пребывает в каком либо конкретном жилом помещении не больше 90 дней, то он вовсе не обязан обращаться за регистрацией и абсолютно спокойно может иметь паспорт совершенно без регистрационных штампов.

Гражданин Российской Федерации всегда законно находится в любом месте на территории Российской Федерации

(есть конечно ЗАТО, воинские части и т. п. , но сейчас речь не про них)

Согласно Правилам регистрации и ст. 19.15 Кодекса РФ об Административных правонарушениях, гражданин РФ обязан обратиться за регистрацией по месту пребывания (то что по-старинке называют "временной регистрацией) только после 90 (девяноста) дней своего пребывания в КОНКРЕТНОМ ЖИЛОМ ПОМЕЩЕНИИ.
(заметим также, что гражданин обязан ОБРАТИТЬСЯ за регистрацией, а вовсе не обязан её иметь после 90 дней пребывания в КОНКРЕТНОМ жилом помещении)

http://www.fmsmo.ru/main.php?p=2-1-5 ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН О ПРАВЕ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НА СВОБОДУ ПЕРЕДВИЖЕНИЯ, ВЫБОР МЕСТА ПРЕБЫВАНИЯ И ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

http://www.legis.ru/misc/doc.php?id=4299 Правила регистрации

http://www.rg.ru/2008/01/23/fms-reglament-dok.html Административный регламент по регистрации

http://www.fms.gov.ru/press/news/news_detail.php?ID=19165

Разъяснения территориальным органам ФМС по некоторым вопросам деятельности органов регистрационного учета

информацию Вы можете найти на официальном сайте ФМС http://www.fms.gov.ru/