Возможно ли оформить документы на получение паспорта и получить паспорт не лично, а по доверенности?

можно. нужна доверенность, справка о том, что он парализован и дееспособен..

А как тогда подпишется под доверенностью?

Вызвать представителя УФМС на дом. Они удостоверятся, что человек на самом деле есть, что не фиктивное лицо. Вам паспорт никто не выдаст, даже если человек не может расписаться. Извините, но даже в психдиспансеры выезжают для выдачи документов.

Такая процедура возможна

62. На граждан, которые в установленном порядке признаны недееспособными, документы на получение или замену паспортов представляются их законными представителями.
Документы от граждан, не имеющих возможности по состоянию здоровья обратиться в подразделение, представляют родственники.
В необходимых случаях для приема документов от граждан, признанных недееспособными или не имеющих возможности по состоянию здоровья обратиться в подразделение, по их просьбе, просьбе законных представителей или родственников осуществляется выход (выезд) сотрудника, ответственного за прием документов, к месту жительства, месту пребывания или фактического проживания заявителя.
Для вручения паспорта гражданам, признанным недееспособными или не имеющими возможности по состоянию здоровья обратиться в подразделение, по их просьбе, просьбе законных представителей или родственников осуществляется выход (выезд) руководителя или иного должностного лица, уполномоченного приказом руководителя территориального органа, к месту жительства, месту пребывания или фактического проживания заявителя.
При получении паспортов законные представители недееспособных граждан проставляют свою подпись в заявлении о выдаче (замене) паспорта по форме N 1П. В графе "Служебные отметки" в этом случае производится соответствующая запись, и указываются сведения о личности получателей и данные их паспорта. Над подстрочной чертой реквизита "Личная подпись" паспорта делается прочерк.
В случае если граждане не имеют возможности самостоятельно проставлять свою подпись, в заявлении о выдаче (замене) паспорта по форме N 1П и над подстрочной чертой реквизита "Личная подпись" паспорта делается прочерк.

Лучше Вам обратиться в паспортный стол и получить разъяснения там

- можно фотографа пригласить домой сфотографировать,
- у обслуживающего врача взять справку, что гражданин лежачий
- и кто-нибудь из родственников может сдать документы паспортисту или в ФМС при этом написать заявление с просьбой выдать паспорт на дому, оставить свои координаты, телефон - по которому сотрудники ФМС с Вами свяжуться, договорятся о визите и принесут на дом паспорт.