Живу без прописки 20 дней. В паспортном столе сказали, чтобы прописаться нужно составить протокол

Пусть составляют.
Вы его обжалуете, если это у вас не место постоянной регитсрации.
В РФ имеете права без регистрации по месту пребывани находится до 90 дней.
А вот при регистрации по месту жителсьвта есть срок - 7 дней.

Иначе:

Статья 19.15 КоАП РФ. Проживание гражданина Российской Федерации без удостоверения личности гражданина (паспорта) или без регистрации

1. Проживание по месту жительства или по месту пребывания гражданина Российской Федерации, обязанного иметь удостоверение личности гражданина (паспорт) , без удостоверения личности гражданина (паспорта) или по недействительному удостоверению личности гражданина (паспорту) либо без регистрации по месту пребывания или по месту жительства -

влечет наложение административного штрафа в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч пятисот рублей.

Ваша ситуация вполне стандартна.
Ведь прежде, чем вам сказали, что нужно составить протокол, вы же сами ЧЕСТНО СКАЗАЛИ, что проживате по месту жительства 20 дней. А зачем вы так сказали?
Но- чтобы прописаться, протокола составлять не надо. В паспортном столе вас ввели в заблуждение. Регистрация граждан по месту жительства не зависит от наличия составленного протокола. (Правила регистрационног учёта граждан) .
Чтобы составить протокол вас должны вызвать в районный отдел ФМС, но это уже-совершенно отдельная процедура

составлять нужно им
а вам это совершенно не нужно

Читайте внимательно - "7 дней со дня прибытия на новое место жительства". А доказывать что вы прибыли не 7 дней назад должны не вы, а ФМСники если штраф хотят впаять. Да и устанавливать событие правонарушения должны не у себя в кабинете, а в жилом помещении. Ибо штраф за проживание, а не за отсутствие штампа. Зайдите на сайт любого суда и смотрите дела по КоАП 19.15 - судьи их отменяют в 100% случаев, ибо нет доказательств. Постановление обжалуйте.

А Вы зарегистрируйтесь по месту пребывания (типо это не место жительства, а ваше место пребывания) при этом условии можно 90 дней жить без регистрации, а потом через некоторое время по месту жительства пропишитесь. И все - штрафа не будет.

да, правда. скорее всего будет штраф от1500 до 2000т. р