Как получить свидетельство о рождении при опоздании (после 1 месяца)?

Да в принципе, если боитесь, что заругают, так и не заморачивайтесь с этим вопроом. Оно вам надо? Вырастет -- сам зарегистрируется:

Федеральный закон от 15.11.1997 N 143-ФЗ
"Об актах гражданского состояния"

Статья 21. Государственная регистрация рождения ребенка, достигшего возраста одного года и более
1. Государственная регистрация рождения ребенка, достигшего возраста одного года и более, при наличии документа установленной формы о рождении, выданного медицинской организацией или частнопрактикующим врачом, производится по заявлению родителей (одного из родителей) или иных заинтересованных лиц. По достижении ребенком совершеннолетия государственная регистрация его рождения производится по заявлению самого ребенка, достигшего совершеннолетия.
2. При отсутствии документа установленной формы о рождении государственная регистрация рождения ребенка, достигшего возраста одного года и более, производится на основании решения суда об установлении факта рождения.

А если серьёзно, то, конечно, ничего с вами не сделают. Максимум -- попросят написать объяснение (для отчётности)

Ничего страшного, выдадут вам св-во. обратитесь в ЗАГС в Железнодорожном. Регистрацию жены предъявите.
А вот с получением полиса и пропиской может выйти облом. Придется ехать в Саратов. там же и пособия оформляются. Все, что касается бюджетных денег, предоставляется по постоянной прописке

Государственная регистрация рождения производится органом записи актов гражданского состояния по месту рождения ребенка или по месту жительства родителей (одного из родителей).

Ст. 15 ФЗ " Об актах гражданского состояния" ..по месту рождения ребенка или по месту регистрации одного из родителей.

регистрация с опозданием возможна и не отличается от своевременной регистрации, кроме как вы должны будете заплатить штраф. Регистрируется рождение ребенка по месту прописки (в т. ч. временной) родителей. Если прописка разная, то по выбору самих же родителей. Так у нас на Украине.