Паспорт. Женщина живёт в Москве, у неё абхазский паспорт, а загран - российский. Как такое может быть?

Это означает, что прописана и проживает в Абхазии, там же получила российский загранпаспорт, как гражданка России, незарегистрированная на её территории. У неё двойное гражанство, насколько это легитимно, органам решать. Она получила российкий загранпаспорт не на основании абхазского, а на основании заявления поданного в российское посольство в Абхазии о получении российского гражданства. Насколько законно она получила российское гражданство, вопрос не к нам.

у человека два гражданства
что тут необычного

ничего подобного. если человек проживает постоянно за пределами России, загранучреждения выдают ему загранпаспорт. Если человек приобрел российское гражданство за рубежом и никогда не въезжал на территорию России, он может всю жизнь прожить без российского внутреннего паспорта.
Полагаю приобретение гражданства было оформлено в Абхазии в консульском учреждении РФ. Тогда паспорту гражданина России у нее просто неоткуда взяться.

Она, например, могла приобрести российское гражданство (в упрощённом порядке) , подав документы в Консульство Российской Федерации в Абхазии.
При положительном решении по вопросу приёма в гражданство РФ, Консульство имеет право выдавать только загранпаспорт гражданина РФ.

Если живёт - значит депортировать в срочном порядке, она может тут только погостить недельку другую, но проживать здесь она не имеет права.

за деньги

А почему нет??.. Если у нее основное гражданство Абхазия?
Живут же русские в Америке по загранпаспорту американскому, а основной паспорт Россия!?