Могут ли меня зарегистрировать?

ППРФ №713.
9. Граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок свыше 90 дней, обязаны по истечении указанного срока обратиться к должностным лицам, ответственным за регистрацию, и представить:
- документ, удостоверяющий личность;
- заявление установленной формы о регистрации по месту пребывания;
- документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина в указанном жилом помещении (договоры найма (поднайма) , социального найма жилого помещения или ЗАЯВЛЕНИЕ ЛИЦА, ПРЕДОСТАВЛЯЮЩЕГО ГРАЖДАНИНУ ЖИЛОЕ ПОМЕЩЕНИЕ) .
10. Регистрация граждан по месту пребывания в жилых помещениях, не являющихся местом их жительства, осуществляется на срок, определенный по взаимному соглашению:
- с нанимателями и всеми совместно проживающими с ними членами их семей, в том числе с временно отсутствующими членами их семей, при условии проживания в домах государственного или муниципального жилого фонда;
- с собственниками жилых помещений;
- с правлениями жилищно-строительных или жилищных кооперативов, если члены кооперативов не являются собственниками данных жилых помещений.

Разбирайтесь, кто там у Вас собственники/наниматели, берите от них/него заявление и дуйте в ФМС за заветным штампиком.

Не могут. Нужно согласие всех зарегистрированных (прописанных).

Неважно сколько человек зарегистрировано. Важно кто собственник квартиры.
В любом случае, регистрацией граждан занимается ФМС.

В данном вопрсосе нужно ориентироваться на согласие собственника жилья, в случае, если жилье в собственности, или согласие главного квартиросъещика, если таковым является кто-тот из присутствующих Ваших знакомых, то проблем нет вообще. Чтобы узнать кто главный квартиросъёмщик, нужно обратиться в паспортный стол кому-то из прописанных в той квартире и паспортистка ответит на этот вопрос.