Могу ли я требовать прописать (зарегистрировать) новорожденного ребенка по месту своей прописки если я сама там не живу?

Извините, но Вы используете совершенно неправильную терминологию, возможно что еще и поэтому у Вас проблемы с регистрацией ребенка...
С точки зрения закона, квартира в Ростове-на-Дону, где Вы "прописаны" (правильно - зарегистрированы по месту жительства) является местом Вашего ЖИТЕЛЬСТВА, т. е. жил. помещением, где Вы ПОСТОЯННО или преимущественно ПРОЖИВАЕТЕ.
А Ваше проживание в Таганроге - это ВРЕМЕННОЕ проживание в жил. помещении по месту ПРЕБЫВАНИЯ.
И в соответствии с законодательством РФ Вам и для вселения своего ребенка по месту своего ПРОЖИВАНИЯ (в квартире в Ростове-на-Дону), и для его регистрации по месту Вашей РЕГИСТРАЦИИ (там же в Ростове-на-Дону) Вам НЕ требуется ни чье согласие - ни остальных проживающих в этой квартире, ни ее собственников.
А все Ваши "объяснения" и паспортисткой и с начальницей "паспортного стола" (о том, что Вы якобы "проживаете" в Таганроге, а "прописывать" ребенка хотите здесь Вам только ВРЕДЯТ и дают повод запугивать Вас назаконными штрафами.
На самом деле, по закону, документы на регистрацию по месту ЖИТЕЛЬСТВА любого гражданина РФ, в т. ч. и ребенка, должны быть поданы не позднее 7-ми дней со дня ПРИБЫТИЯ к месту жительства, т. е. со дня вселения в жилое помещение, а вовсе НЕ с даты прибытия в город или даты рождения ребенка ...
Вот Вы и должны стоять на том, что после родов ребенка и своего ВРЕМЕННОГО проживания с ним в другом городе у мужа (мамы, бабушки и вообще где угодно - свобода передвижения, выбор места ПРЕБЫВАНИЯ и жительства в пределах РФ предоставлена Вам ЗАКОНОМ) Вы буквально "вчера" вернулись в квартиру по месту своего жительства и законно вселили своего ребенка, а "сегодня" подаете документы на его "прописку", т. е. его регистрацию по месту Вашего, а теперь и его места жительства.
А при любом ОТКАЗЕ паспортистки и/или ее начальницы ПРИНЯТЬ документы на регистрацию или ТРЕБОВАНИИ предварительно уплатить какой-то мифический штраф (а тем более при ОТКАЗЕ зарегистрировать ребенка - Вам прямая дорога в прокуратуру! О чем честно и предупредите их заранее!
Тем более, что сейчас п. 5 ст. 19.15.2 КоАП РФ специально для подобных паспортисток установлено, что "Нарушение лицом, ОТВЕТСТВЕННЫМ за ПРИЕМ и передачу в орган рег. учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета гражданина РФ по месту пребывания и по месту ЖИТЕЛЬСТВА... установленных законодательством РФ СРОКОВ представления в орган рег. учета документов для регистрации гражданРФ ...влечет наложение административного ШТРАФА в размере от 3-х до 5-ти тысяч руб."
Удачи.

Можете зарегистрировать. согласие собственника не требуется.

можете зарегистрировать
согласие собственника не нужно
штрафа быть не может

Если вы еще пять раз зададите этот вопрос, закон не изменится.

Можете. Но если это произойдет, то это будет уголовка.