Прописать новорожденного ребенка, должны оба родителя придти? Или можно одному папе?

Судя по всему вы общались с так называемой "паспортисткой". Паспортистка - это сотрудница управляющей компании, как правило бухгалтер, на которую начальство повесило вести регистрацию и выдавать справки. Она не сотрудница ФМС и за плечами у неё какой-нибудь экономический колледж.
По долгу службы регистрацией у нас занимается ФМС. Это то место, где вы загран. паспорт оформляете. Можете сходить туда.
Но если не хотите стоять в очереди, то проще всего прийти к вашей паспортистке снова, положить ей на стол все необходимые документы и сказать - "приду через три дня, чтобы регистрация ребёнка была готова". С этими словами разворачивайтесь и уходите, не вступая в ненужные препирательства.
Зарегистрируют как миленькие. Главное не спорить, это пустое.

достаточно одного

Собственник и должен

Оба родителя прописаны в одной квартире. Для прописки ребенка в этом случае достаточно присутствия одного родителя.
ФМС творит беззаконие. Если Вам отказывают, требуйте-"Пишите письменный отказ, укажите причину отказа"После таких слов 99 % работников мигом трезвеют. Если не помогло-к начальнику ТП с тем же требованием. Надеюсь на этом и закончится. .
Совсем обнаглели ФМС-ники. Нечего молодой мамочке по паспортным столам таскаться-ей и так тяжело сейчас.
Удачи.

Собственник квартиры должен прийти, у нас вообще бабушка прописывала и никого больше не было

Любой. Кто-то должен принести свидетельство о рождении ребёнка.

Ребенок может быть зарегистрирован только вместе с родителями, либо у одного из них, но в этом случае требуется согласие второго родителя и справка о том, что ребенок у него не зарегистрирован.

В Вашем случае оба родителя прописаны на одной жилплощади, так что по действующим правилам нигде более, как на этой жилплощади, ребенок зарегистрирован быть не может. Укажите на это в паспортном столе - им достаточно проверить карточку учета, или как она там называется. Присутствие второго родителя не потребуется.

Вероятно, исключение может составить случай, когда квартира родителей оформлена в долях.

Прописывала ребенка к мужу, потребовали моего письменного согласия. (это в Москве)