возникают ли обязательства у приглашающей стороны обязательства принимающей стороны иностранного гражданина

Вопросы. связанные с приглашениями, регулируются ФЗ о правовом положении иностранных граждан

Если иностранец въехал по приглашению, но не прибыл к принимающей стороне, то тут нарушение с его стороны. По умолчанию, приглашающая сторона также может быть привлечена к ответственности, если будет доказано, что приглашение было фиктивным.

Если дело дошло до миграционного учета - смотрим ФЗ о миграционном учете иностранных граждан

"Приглашающей стороны" в ФЗ нет, есть "принимающая сторона" (ст. 2 и по всему тексту)

Ст. 22 - обязанности по постановке на учет по месту пребывания

Обязанность после убытия иногражданина, если принимающая сторона - физлицо - уведомлять УФМС об убытии путем направления отрывной части бланка об уведомлении в действующей версии исключена. А именно по ней было блоьшое число дел об административных правонарушениях (иногражданин же старался иметь подтверждение факт исполнения своей обязанности по учету при выезде, это можно было сделать только показав отрывную часть бланка, но ее же в УФМС должна была до того направить принимающая сторона - капкан) . Но она оставлена для некоторых видов организаций типа гостиниц и пр.
ППРФ о миграционном учете п. 45

Если посылал вызов, то надо проследить, чтобы иностранец зарегистрировался в течении 3-х дней.. .
10 лет назад мне также пришлось оповещать, что я лично проводила гостя и видела, как он ушел на посадку в самолет... Сделать это можно было по почте, заказным письмом с уведомлением о вручении.. . Сейчас вроде бы уже это правило отменили...

да!