Можно ли поменять прописку и при этом не ехать на свой старое место жительства.

Обращаетесь в отдел ФМС Подмосковья с паспортом, пишите два заявления: одно на регистрацию по месту жительства (пребывания),другое на снятие с рег. по прежнему месту жительства. (не запрос)(пребывания).
Прийти в отдел ФМС Подмосковья,чтобы сняться с рег. учета в Москве, без регистрации в Подмосковье не получится.

можно зарегистрироваться

Выписаться и прописаться сейчас нельзя, т. к. прописки в России нет уже 20 лет. Вы наверное с зоны откинулись только что? :)))

На новом месте жительства Вас автоматически снимут с учета со старого места, если Вы об этом..

Можно.
См. Правила регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации
П. 31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:
а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.
P.S. Прописка отменена 20 лет назад.

Нельзя, прописки давно отменили.

Ехать не нужно! приходите в паспортный стол заполняете листы убытия и прибытия они автоматическе выписывают с прежнего места и прописывают в этом!

Вы можете оформит временную регистрацию по месту пребывания, и при этом не выписываться с прежнего места жительства. Если Вам нужна более подробная консультация Вы можете написать мне на электронную почту илив Мой Мир