Сохраняется ли прописка при замене паспорта? Регистрация по месту пребывания обязательна?

"нужно ли оформлять заново прописку или делать какие-то манипуляции касательно ее? "
Не нужно. Регистрация никуда не девается.

"обязательна ли регистрация по месту пребывания"
Фактически она для жизни нафиг не нужна, но по правилам обязательна при соблюдении нескольких условий:
1. если Вы выезжаете за пределы своего региона (Москва и МО считаются одним регионом)
2. Если там Вы непрерывно проживаете в конкретном жилом помещении более 90 суток.
В пределах региона своей "постоянной" регистрации можете жить где угодно и сколько угодно без этих заморочек.

"Каким образом могут доказать, что я действительно нахожусь не по месту прописки более трех месяцев"
Только получив Ваше чистосердечное признание в письменном виде!

Непонятный вопрос. Кстати, прописку в РФ отменили в 90-х годах.

Паспорт можно обменять в любом подразделении ФМС на территории РФ.

Срок обмена будет больше, чем при обмене по месту постоянной регистрации.

УФМС и по месту пребывания меняет паспорт и без временной регистрации даже
вы могли вчера приехать на время

1. если живете в квартире, то нет.
2. да надо делать. Ради Бога, я всегда говорю что только что попутками приехал (если долго сижу в одном городе и менты докапываются) .
Всем плевать. Я военкому говорил что каждые пару дней уезжаю домой в другой город, поэтому не собираюсь становится на учет, здесь и делать регистрацию. Никогда не трогали.

Прописку говорит отменили, Боже как за*бывает эта ерунда. Все же поняли, что она спрашивает про постоянную регистрацию. Гуманитарии долбанные.

Дополнение.
Вай, вы не поняли. Если постоянная регистрация в квартире, то при замене паспорта вам штамп поставят сами они, а если постоянная регистрация в доме частном, то там немного сложнее.