регистрация новорожденного...

вы не совсем верно поняли паспортистку или вам не совсем верно пояснили.
нужно НЕ согласие папы на прописку ребенка, а справка с места жительства ( то есть места регистрации) отца, что ребенок там не прописан -это делается для того, что бы исключить регистрацию ребенка сразу по двум адресам.
А казаком путает понятия " место жительства" и понятие " место регистрации"

Любой человек. в том числе и ребенок, может быть зарегистрирован по какому то адресу по месту жительства и по месту пребывания - и это тоже разные понятия, в которые вам вникать пока не стоит.

По этому вы берете справку с места регистрации отца, что ребенок там не зарегистрирован и регистрируете ребенка у себя. Если справку не дадут ( так как вы в той квартире не прописаны) , сходите в опеку. они такую справку имеют право запросить.

По чьему адресу Вы собрались регистрировать малыша?

берите с них письменный отказ и обращайтесь в прокуратуру.

Всё верно. Регистрация несовершеннолетнего возможна по месту регистрации одного из родителей с СОГЛАСИЯ второго родителя.
Если нет согласия, то Вам необходимо обратиться к адвокату для составления иска в суд.
Статья 65 СК РФ. Осуществление родительских прав
3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается СОГЛАШЕНИЕМ родителей.
При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое).

Казаков в очередной раз бредит. Такие действия являются вмешательством в семейные отношения. Этим чаще всего увлекаются сиделки из паспортных столов. Идите напрямую в ФМС.