Могу ли я поменять ФИО на Алексеев-Алексеев Алексей Алексеевич?

Не усматриваю невозможности принятия фамилии Алексеев-Алексеев .
Статья 28. Порядок записи фамилий супругов при государственной регистрации заключения брака
Федеральный закон от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ "Об актах гражданского состояния"
1. При государственной регистрации заключения брака супругам в записи акта о заключении брака по выбору супругов записывается общая фамилия супругов или добрачная фамилия каждого из супругов.

2. В качестве общей фамилии супругов может быть записана фамилия одного из супругов или, если иное не предусмотрено законом субъекта Российской Федерации, фамилия, образованная посредством присоединения фамилии жены к фамилии мужа. Общая фамилия супругов может состоять не более чем из двух фамилий, соединенных при написании дефисом.

Статья 32. Право выбора супругами фамилии Семейный кодекс Российской Федерации от 29 декабря 1995 г. N 223-ФЗ (СК РФ)
1. Супруги по своему желанию выбирают при заключении брака фамилию одного из них в качестве общей фамилии, либо каждый из супругов сохраняет свою добрачную фамилию, либо, если иное не предусмотрено законами субъектов Российской Федерации, присоединяет к своей фамилии фамилию другого супруга.

В соответствии с Федеральным законом от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ в качестве общей фамилии супругов может быть записана фамилия, образованная посредством присоединения фамилии жены к фамилии мужа

Соединение фамилий не допускается, если добрачная фамилия хотя бы одного из супругов является двойной.

Таку. нельзя, можно только на Алексеев - Пездопупкин

А кто мешает?

В русском языке двойная фамилия образуется из двух РАЗНЫХ фамилий.