Сколько времени даётся на подачу документов о замене паспорта РФ?

В любое время можно обратится, за утерю документа все равно придется платить, а так они обязаны выдать временный документ.

Месяц.

А как вы собираетесь ехать без паспорта?

Нисколько не даётся, это никак не регулируется. Хотя чего сложного вместо вопроса сюда подать заявление через госуслуги?

15. Документы и личные фотографии для получения или замены паспорта должны быть сданы гражданином не позднее 30 дней после наступления обстоятельств, указанных в пунктах 1, 7 или 12 настоящего Положения. (Постановление Правительства РФ от 08.07.1997 N 828 (ред. от 20.11.2018) "Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации").
Получение паспорта гражданина РФ в связи с хищением или утратой паспорта.
При утере или хищении паспорта гражданина РФ необходимо подать заявление в органы МВД, в котором указать место и время пропажи документа. Вам выдадут талон-уведомление о регистрации сообщения о происшествии, с которым вы придёте в отделение ГУВМ МВД для получения нового паспорта.
Оплатите госпошлину - 1500 рублей. Бланк квитанции вы можете заполнить и распечатать на странице ГУВМ МВД. Госпошлину вы можете оплатить в любом банке.
Подайте заявление в отделение ГУВМ МВД, приложив к нему следующие документы:
талон-уведомление о регистрации сообщения о происшествии;
копию свидетельства о рождении;
копию свидетельства о браке (если брак заключен);
копию свидетельства о разводе (если брак расторгнут);
копии свидетельств о рождении детей, не достигших 14-летнего возраста (при наличии);
копию документа воинского учета (при наличии соответствующего основания);
две цветные или чёрно-белые фотографии размером 35х45 мм.
Если не затруднит захватите с собой Квитанцию об уплате государственной пошлины.