Нужно ли заверять доверенность в посольстве, отправляя ее из России в другое государство?

Легализация документа - это совершение ряда определенных формальных процедур для придания документу юридической силы на территории другого государства (проставление Апостиля) .
Конечной целью процедуры легализации документа, выданного на территории одного государства, является возможность его представления в официальные органы другого государства.
Исключением из этого правила являются некоторые типы документов, которые не подлежат легализации, а также некоторые страны, с которыми у России заключен двусторонний договор, отменяющий требование легализации.

В настоящее время между Россией и Казахстаном действует Конвенция о правовой помощи и правовых отношениях по гражданским, семейным и уголовным делам (Минск, 22.01.1993г.) .
В соответствии со статьей 13 данной Конвенции документы, которые на территории одной из Договаривающихся Сторон рассматриваются как официальные, пользуются на территориях других Договаривающихся Сторон доказательной силой официальных документов.
Документы, которые на территории одной из Договаривающихся Сторон изготовлены или засвидетельствованы учреждением или специально на то уполномоченным лицом в пределах их компетенции и по установленной форме и скреплены гербовой печатью, принимаются на территориях других Договаривающихся Сторон без какого-либо специального удостоверения.
Таким образом, для предъявления на территории Казахстан достаточно доверенности, удостоверенной нотариально. Проставление Апостиля на таком документе не требуется.

То есть заверяйте у нотариуса и спокойно отправляйте. Этого достаточно. Нигде больше заверять не надо.

Никакого специального заверения не требуется. Если доверенность исполнена на казахском языке, ОНА ДОЛЖНА СОПРОВОЖДАТЬСЯ НОТАРИАЛЬНО ЗАВЕРЕННЫМ ПЕРЕВОДОМ НА РУССКИЙ. Вот, собственно и все.