Как и где получить паспорт на собаку? Собаке 5 месяцев, у меня только свидетельство о рождение.

Значит, так. Разберёмся для начала с терминологией. Свидетельство о происхождении собаки (перечислены клички нескольких поколений предков) и о том, что она принадлежит к какой-то породе, называется "родословная", а не "паспорт". В выставках и разведении могут принимать участие только породистые собаки с родословной.
Документ, который отдают вместе со щенком, называется не "свидетельство о рождении", а "метрика щенка" или "щенячья карта" (одно и то же, просто называют по-разному) . Щенячью карту позже (обычно не ранее, чем после 6 месяцев) меняют на родословную.

Чтобы поменять щенячью карту на родословную, нужно обратится в тот клуб или питомник, где покупали собаку. Если не знаете, какой это клуб или питомник - позвоните заводчику (у кого покупали собаку) , он посоветует, куда и когда обратиться. Если контактов заводчика почему-то нет - поищи клуб собаководства у себя в городе (интернет в помощь) , спросите там.

"Паспортом" по отношению к животным называют ветеринарный паспорт. Это совершенно другой документ, в котором ставятся отметки о прививках. Он есть у каждого домашнего животного, и не является свидетельством о происхождении или принадлежности к породе. Собаки, у которых только ветеринарный паспорт, официально породистыми не считаются, не могут получить родословную и использоваться в выставках и разведении.

пойдете делать прививки, ветеринар выдаст

Вы наверное путаете паспорт для прививок с родословной на собаку... Заводчик или питомник из которого Ваш щенок зарегистрированы в каком-то клубе. Через этот клуб и можно помнять щенячку (свид. о рождеии) на родословную. Делать это до года (Вашего щенка) , стоит от 1000 до 1500 руб.

когда прививку первую делали, вам должны были выдать паспорт. С датой рождния, кличкой и т. д.
Если у вас нет паспорта, то когда вы делали прививки, куда записывали вам их?

клуб сабакаводов ищи они на все вопросы ответят

В вет. клинике его и сделают.