дурацкий вопрос, но всё же: у кошек может быть туберкулёз?

Может.
Хронически протекающая инфекционная болезнь многих видов животных, а также человека, которая характеризуется образованием в различных органах и тканях специфических узелков - туберкулов, склонных к творожистому перерождению.
Э т и о л о г и я. Туберкулёз вызывает маленькая килото-устойчивая туберкулёзная палочка. Различают несколько типов туберкулёзной микобактерии: человеческий, обычный, птичий, мышиный. Все они могут вызывать заболевание у кошек. Туберкулёзная палочка обладает значительной устойчивостью, и может продолжительное время сохранятся во внешней среде.
К туберкулёзу более восприимчивы сиамские кошки.
Заражение происходит через пищеварительный тракт, через дыхательные пути (пылевая инфекция) и как исключение через кожу. Заболеванию туберкулёзом способствуют неблагоприятные условия содержания, плохое кормление, простуда и др.
Больные туберкулёзом кошки могут быть источником инфекции для других животных и человека.
П р и з н а к и б о л е з н и. У кошек отмечаются непостоянство аппетита, общее угнетение, быстрая утомляемость, слегка повышенная температура тела, постепенное исхудание.
При поражении органов дыхания бывает кашель, развивается одышка, нередко плеврит с болезненностью грудной клетки. Если поражаются органы брюшной полости, увеличивается объём живота. Очень часто отмечается увеличение лимфатических узлов в разных областях тела. Иногда образуются незаживающие язвы на морде и других местах, поражаются кости конечностей.
Заболевание туберкулёзом может тянуться годами. В сырую и холодную погоду отмечается обострение болезненных явлений.
Д и а г н о з. Устанавливается при всесторонним клиническом обследовании животного и подтверждается специальными исследованиями. Используется аллергический метод диагностики - введение туберкулина в соответствии с наставлениями о его применении. Большую ценность представляет и непосредственное обнаружение возбудителя.
П р о ф и л а к т и к а. Не следует допускать общения с больными туберкулёзом животными, не скармливать им в сыром виде мясных и молочных продуктов, подозрительных на наличие туберкулёза. Люди, больные туберкулёзом, должны строго соблюдать правила личной гигиены.
Необходимо обеспечит животным хорошие условия содержания (светлые, сухие, чистые помещения, прогулки на свежем воздухе) и рациональное кормление, периодически проводить дезинфекцию помещений, предметов ухода и пр.

Йог, спасибо за исчерпывающий ответ!
И автору спасибо за хороший вопрос.
И главное - животное не виновато.
Еще совет - если поблизости есть тубдиспансер или тому подобное - не выпускайте кота гулять на улицу.

Yes, but I doubt, because illness that human. Better to vet to address!