можно ли на птичьем рынке найти маленькую собачку в дар

Маленькую - можно.
Породистую - нет. Даже если скажут, что породистая, потом выяснится обратное.
А ещё с рынками надо быть осторожнее: там часто продают и отдают больных животных. Одни животные покрашены краской, чтобы создать окрас свойственный породе, - потом от этой краски происходит отравление. Другие заболели где-то ещё, а на рынок их припёрли, чтобы продать побыстрее, пока не умерли. Третьи уже на рынке заболевают: улица, куча других животных, антисанитария, отсутствие прививок.. .
Хороший заводчик продавать, а уж тем более отдавать, щенков на рынок не пойдёт - в них слишком много сил и денег вложено, чтобы они там заболели или попали непонятно к кому и бесплатно.
Поэтому, смотрите, но на породу не рассчитывайте. На рынке вам никаких документов и клейма не светит (в лучшем случае, липовые) .
А безопаснее смотреть щенка по объявлениям. Лучше поискать, кто отдаёт метисы мелких собачек или маленьких дворняжечек в дар. Они хотя бы дома родились, болячек на помойках или на рынке не нацепляли.

непородистую-возможно

можно, тока не факт что будет маленькая когда подрастет, может и вымахать до приличных размеров

Получите маленькую - вырастите большую

Только знайте, что на птичке большинство котят/щенков больные. Так что, возможно, в дар щенка вы получите, но потом разоритесь на его лечение. И да, Екатерина правильно написала, маленьких собак берут больше, так что продавец может запросто обмануть.

можно, а можно и в приюте, там и выбор больше.

Иногда можно, но не исключено, что этот маленький щеночек превратится в огромного пса.