Начиная с понедельника, кот часто высовывает язык и давится. вот сейчас пытался вырвать, но у него ничего не вышло

Загляните в пасть - нет ли инородных предметов или воспаления. Если кот сожрал нитку (или еще чего) - сами не тащите ее из пищевода - можно порезать ниткой внутренности - несите к вету.

Шерсть не может отрыгнуть. Купите в ветаптеке мальт-пасту для выведения шерсти и давайте по инструкции, но если не поможет - без ветеринара не обойдетесь.

Ну, раз не хотят, выбор-то у вас невелик - только наблюдать и ждать, что будет. Вообще, скорее всего, не будет ничего особенного. Единственное, посмотрите, нет ли у него каких-либо инородных тел в пасти - в глотке, на дёснах, между зубами, на языке. Понятно, что проделать такую процедуру с кошкой сложновато, это не собака, но придется. Смотрите внимательно, при ярком освещении. Много лет назад так я у своей кошки обнаружила впившуюся в нёбо небольшую швейную иголочку. Просто вытащила и всё прошло.

Нужно ему травки дать пожевать. Шерсти просто обожрался.

Это может быть и шерсть и инородный предмет, например нитка (без ветпомощи, кот умрет) , и заболевания печени и желудка. Я, однозначно, рекомендую обратится к вету. Но, если Вы категорически не хотите ухаживать за своим животным и обращатся к специалисту, то можно попробовать дать вазелиновое масло ( по 3-5 мл в шприц и 3-5 подходов) , если это шерсть- поможет, если инородный предмет-50х50. А у кота аппетит присутствует?
Кстати, банальные гельминты, тоже могут быть. Глистовали котика когда? Таблетки-Каниквантель ( 1 табл. на 10 кг веса, обычно кот весит около 5 кг и 0,5 табл. достаточно) или суспензия Празицид ( 1 мл на 1кг веса, набирать в шприц больше, т. к. коты плюются).

У соседей месяц назад кот как будто кашлял или давился. . Оказалась какая то инфекция которой подвержены коты до, по моему 5 лет. Лечится. Померяйте температуру. И к врачу.

Общий анализ крови и к ветеренару.
Может быть все от глистов до шерсти.