Как уговорить родителей завести щенка?

Скажите, что так вы будете проводить больше времени с семьей. Этот аргумент придется родителям по нраву. В конце концов, какому родителю не понравится, что ребенок сидит дома и занимается делом, а не шляется не пойми где или не торчит у монитора компьютера?! Так что упирайте на то, что собака - это именно то, что нужно вам для того, чтобы проводить больше времени дома и, как следствие, с родителями.

Надо не говорить, а делать. Не говорить "я буду убирать за щенком", а брать тряпку и мыть пол регулярно, не дожидаясь, когда это сделает мама.

Ну вот, еле на кошку согласились, а Вы уже щенка требуете. Как Вам доверять-то? Согласятся на щенка (еле-еле), Вы слоненка затребуете. ;)) Потому и не разрешают, что Вы сами не знаете, кто Вам нужен. :))
Птичий рынок,
Птичий рынок...
Золотым июньским днем
Между клеток и корзинок
Ходим с папою вдвоем.

Видим — рыбки продаются,
Плавники горят огнем.
Мы на рыбок посмотрели
И решили, что берем!

Раздавал котят бесплатно
Симпатичный продавец.
На котят мы посмотрели,
Посмотрели,
Посмотрели —
И забрали наконец.

Тут нам белку предложили.
— Сколько стоит?
— Пять рублей. —
На нее мы посмотрели,
Посмотрели,
Посмотрели —
Надо взять ее скорей!

И совсем перед уходом
Мы увидели коня.
На него мы посмотрели
Посмотрели,
Посмотрели,
Посмотрели,
Посмотрели...
И купили для меня.

А потом пошли домой,
Всех зверей забрав с собой.
Вот подходим к нашей двери,
Вот решили постучать.
Мама в щелку посмотрела,
Посмотрела,
Посмотрела,
Посмотрела,
Посмотрела...
И решила: не пускать!

Совсем недавно наткнулась.
Почитайте: http://dogsecrets.ru/stati/527-kupit-sobaku.html

Так говорить все могут, а вот делать...

маленькая собачка ходит в туалет дома в лоток, может на такую согласится ваша мама

Собака-как член семьи. Очень ответственно. И в наше время даже накладно. Если родители не разрешают - у них есть на то основания. У меня был кот, который питался исключительно рыбой. И мать сказала, что килограмм рыбы ежедневно покупать - за свой счёт. Тоже деньги. Я была студентка, подрабатывала. Но даже на моего крупного кота уходила существенная статья расходов. А тут - собака.

Нужно аргументированно убедить родителей, что вы- ОТВЕТСТВЕННЫЙ человек.

сначала подумай сама хорошо нужно тебе это или нет. тебе же нужно будет за ним ухаживать, какашечки убирать, кормить, мыть, выгуливать. ты же не выкинешь собаку, когда устанешь от этого. или родители за тебя это будут делать??? возьми у близких на недельку собаку и узнаешь твоё это или нет.