Как уговарить родителей купить собаку?

Обсудить причины отказа. Если возможно выполнить необходимые условия, то - выполнять. А если это категорический отказ - смириться.
Когда будешь независим от мнения родителей, исполнишь свою мечту.

пообещай закончить четверть на пятерки и выполни обещание

а ты готов вставать в 7:00 каждый день без выходных и праздников, не глядя на погоду?
и еще выходить после 22:00 так же.

Давить на жалость. Показывать, как грустно без собачки, постоянно выносить мозг насчёт того, какие они хорошие, показывать умиляющее видео, давать обещания, которые всё равно потом не выполните.. Как правило, в таких ситуациях дети достают родителей так, что им уже легче купить собаку, чем продолжать выслушивать эти завывания. Но вообще так делать нельзя. Лучше приведите веские аргументы в пользу покупки:
1. Питомцы учат ответственности;
2. Положительно влияют на психическое здоровье;
3. Позволяют разнообразить досуг;
4. Необходимость гулять с собакой - это не минус, а плюс. Больше прогулок на свежем воздухе, меньше сидения за компьютером;
5. Репетиция перед воспитанием детей.
Плюс у каждого нормального человека есть потребность заботиться о беззащитном существе. Ваши родители родили вас, а вам нужна для собака, если они пока не хотят иметь внуков.
Ну и поведение должно быть идеальным, должно быть заметно старание.
Но только если родители в принципе животных не переносят, то лучше пожалеть зверей и не заводить никого.

Никак. Если не хотят, значит есть причина.