Может ли кот жить мирно с попугаем (кореллой)?

Это от кота зависит и от хозяина, насколько доступно сможете донести до кота, что птичка - это друг и член семьи. У меня получилось. Это мой Василий и попугайчик Лучик. Но наидине старались их не оставлять. А вот диких птичек-мышек Вася не прочь половить и песть.
Если котенка берете, то наверное проще приучить. в моем случае кот уже был очень взрослый, когда птичку принесли.

может вот только мои разнесли всю кв своей дружбой

Ага, будут писать в один лоток и спать в одной клетке

И коты и попугаи разные бывают! У знакомых попугай кастрированного кота до истерик доводит!

Всё относительно.

Если взять не взрослого кота, а маленького котенка, то вполне можно приучить его к попугаю и он не будет его трогать. У меня была корелла и котенок, я даже их в клетке вместе фоткала, естейственно под контролем только. У меня котенок понимал уже слово нельзя. Дружба вне клетки между корелой и котом невозможна, у него сразу срабатывает природный инстинкт за летающей птичкой поохотится, схватить коготочками. А другой мой кот отлично уживался с хомяком, не трогал его, прыгнет в ящик к хомяку, пожрет его еду, а хомяка не трогает, хотя был еще тот мышелов.

А сможет ли огонь с водой слиться? Но на самом деле если он будет только летать, то уживутся)

Да.