Как уговорить родителей завести хомяка?

Лучше не клетку, а аквариум на 18 литров. Там поставить самодельную хатку, над входом в хатку повесить на боковую стенку беговое колесо диаметром 200 мм. Из клетки они убегают-пролезают между прутьями, а про детёнышей и говорить нечего-удерут в первый же день. Я занимался разведением джунгарских хомяков около 5 лет-так что в курсе всех этих дел.

Хомяк - неплохая проверка ответственности.
Родители много не потеряют. Живёт хомяк в клетке, поэтому по дому шляться не будет, не подерёт мебель и обои (конечно, если не выпускать без присмотра, а то очень даже может провода и шторы погрызть). Особо громких звуков не издаёт (хотя и ночной зверёк: ночью шуршит, бегает в колесе). Ест немного: корм + растительная пища. Приучать к лотку, дрессировать не надо.
Нужна клетка, нужно наполнение для клетки (домик, колесо, кормушки и поилки). Нужно покупать корм и наполнитель для клетки, палочки для стачивания зубов.
Живут хомяки 1,5-3 года.
Так что, это не выклянчанная кошка или собака, с которой родителям лет 15 мумукаться, коли она ребёнку надоест.
Пусть родители вам дадут возможность за кем-то самостоятельно ухаживать. Заодно посмотрят, насколько вашего энтузиазма хватит, как вам понравится бегающий ночью хомяк, будете ли вы забывать убирать клетку и кормить его, как решите вопрос с какими-то поездками на отдых...
Что касается разведения, то с этим лучше повременить. Хомяки - одиночки. Каждую особь надо в отдельной клетке держать, а ссаживать только для вязки в нужный период течки. И очень много хомячих гибнет во время беременности и родов, съедает потомство. Оно вам надо? Тем более, что плодятся хомяки с бешеной скоростью и количеством: никому эти хомячата не нужны. Только если на корм для хищных зверей (хищные птицы, змеи, хищные зверьки).

Ну, не знаю, что и сказать. Места для хомяка требуется совсем ничего, запаха особого нет... мама должна разрешить.

Ну она же наверное объясняет вам ПОЧЕМУ не хочет. Или что, прям просто Нет, нет, нет. Мы же не знаем почему мама отказывает, а следовательно что посоветовать... Уж не в стоимости клетки дело. Может у вас каждую неделю новая хотелка, если нет- требуйте грызуна на Д. Р. Ну это если хомяк вам прям больше всего нужен.
Я говорю, самое трудное уболтать на животное. А велик то они и сами купят

И кстати говоря за просьбы нужно и благодарным уметь быть.

Честно, посоветовать нечего, я просто не могу понять, по каким причинам можно отказать ребенку в хомяке

Покажи что ты самостоятельный. Скажи им чисто и на прямую что будешь ухаживать за ним, и больше пытай помогать им в чём-то :)

Разводить? Вам минимум две клетки нужны. Плюс корм и т. д. да и хомяком заниматься надо. Он потом надоест быстро