Хочу взять собаку из приюта. Каким образом они проверяют благонадежность человека? Или до сих пор этого не делается,

Смотря какой приют.. у нас например если берут животное, то за ним назначают куратора до поры до времени, они проверяют и состояние собачки и уход за ней..

У нас приют - выкладывает фото на авито
есть группа в ВК
понравилось фото. позвонила, узнала - хотела приехать, потом передумала.
Сами привезли с ошейником. прививками. Иногда выкладываю фотки в ВК
Никто не звонит, из за угла не следят.

Это зависит от самих кураторов. Например, моя знакомая, с которой мы уже не одно животное, а в частности щенко, пристроили, ненавязчиво периодически интересуется, как оно прижилось. Старается в подарок отдать руоетку или небольшой пакет хорошего корма.

От приюта зависит. Могут заключить договор ответственного содержания, естественно-получив все контакты, могут отслеживать-это и фотоотчеты, и визиты... А могут первому попавшемуся отдать...

никак, в лучшем случае просто побеседуют.

бомжам не дадут

Блин, вы знаете, есть настолько дотошные волонтеры, что именно из-за них сидят эти бедняги по клеткам. Особенно бесят ежедневные фототчеты, я понимаю, когда раз в месяц там, но блин, не каждый же день. А как только владелец отказывается выслать фото, сразу подозрения и черные посты в интернете. Неоднократно с таким сталкивалась. Собака взятая из приюта не становится вашей, за ней сутками наблюдают шизики.
У меня коллега хотела взять из приюта собаку, очень уж понравилась. Она заполнила их анкету, несколько раз приезжала на собеседование и ей ОТКАЗАЛИ по непонятным причинам, они не разглашались.
Тогда она плюнула и купила породистую собаку. Довольна, больше из приютов брать не желает.

у приютов есть чёрные списки в них людям не дают.
почти никак не проверяют, только узнают у вас номер телефона, место жительства и так далее. Могут приехать и проведать собачку, могут попросить отправить фото/видео отчёт из дома, чтобы убедиться что с собачкой всё хорошо