Как пристроить брошенного котенка?

Аллергик? Именно на кошачью шерсть? Пробы делали? У меня в доме аллергики (пыль, пыльца, козья шерсть) и кот. На кота реакции нет. Проверяли.

"Что и жалеть, коли нечем помочь" (Н. А. Некрасов).
Когда я подобрал на газоне выброшенную кем-то абсолютно ручную крысу (хозяева так и не откликнулись, хотя одно из моих объявлений провисело возле сельпо 4 месяца) - я тоже не имел возможности её приютить: в квартире - две весёлые игривые кошки, страстно мечтавшие её задушить... Однако же она прожила у меня четыре месяца, покуда не нашлись "добрые руки", с радостью её взявшие и создавшие ей на оставшиеся два года её жизни воистину райские условия...
Насчёт Вашего аллергика - тоже не факт, что у него окажется аллергия именно на кошек: вполне бывает аллергия на собак при отсутствии аллергии на кошек, наличие аллергии именно на данный аллерген легко устанавливают лабораторным анализом крови.

Если аллергия реально на кошку, то можно отдать на передержку, платную, естественно, тем временем искать руки. Конечно, нужно его обработать от паразитов и показать вету. Ресурсов по пристройству очень много. Делаете хорошее описание, контакты, качественное фото и размещаете как можно больше, где только можно. Для примера: https://postila.ru/Run/v-horoshie-ruki

Делаете красивые фото его и размещаете на сайтах типа Авито, Юля в вашем городе, а так же в социальных сетях, группах по пристройством животных

в данном случае нужно писать на форумах возможно кот и пес, искать приюты и т. д.