можно ли заразиться бешенством от кота, который только-только подцепил вирус? где-то через 5 минут или меньше

Можно даже заразиться если кот вообще не болен бешенством. )))
Например в драке с больным животным ему на когти попала слюна. Это вполне может быть. Вы начали оттаскивать своего кота и он в запале оцарапал вас.
Если он тут же не начнёт вылизывать лапы или привит он не заразится бешенством вообще. Но вы уже будете больны.

«Бешенство передаётся, если слюна больного животного попадёт на царапины или порезы на теле человека. В редких случаях заразиться удаётся во время вскрытия поражённого бешенством животного или человека. Ещё реже встречаются случаи передачи бешенства от человека к человеку, воздушно-капельным путём, через одежду, воду.»

можно

Т. е. его 5 мин назад покусала бешеная собака/лисица/енот/ежик? Кот не привитый покусал вас? Тогда вероятность есть.

ну, если вы его своими ручками вырвали из пасти бешеной лисы, то заразиться вы можете еще как. правда, не от кота, а от той же лисы, она явно и вас тяпнет пару раз. если же вы эту лису прогнали, а кот через 5 минут вас укусил, то угрозы заражения почти нет, кот еще и сам-то не заболел, не успел, так что в его слюне вируса пока нет. заразным кот станет тогда, когда сам заболеет, а это явно не через 5 минут.
но если вашего кота никто не кусал, то и ему бешенство взять неоткуда. соответственно, и вас не заразит

а почему вы решили, что кот подцепил бешенство?

можно

конечно можно, лучший вариант обратиться с котом в государственную инстанцию, чтобы вам подсказали есть ли действительно подозрение на данное заболевание и чтобы вы успели в области своего здоровья принять меры.

И где ж он подцепил...?