Можно ли держать хомяка в коробке, обычной, либо с под обуви?

он ее прогрызет и от мочи она размокнет

Вы так шутите. Чтобы прогрызть картон, хомяку будет достаточно и нескольких минуток. Любое животное нужно брать тогда, когда уже все подготовлено к его содержанию.
Как вариант, можно временно посадить зверька в пластиковое ведро, емкостью 10 литров. Разумеется, без крышки. Следите только за уровнем подстилки, он не должен быть слишком высоким, чтоб не появилась возможность выпрыгнуть.
Пишут про железные ведра и кастрюли. На железе холодно, некоторые хомяки имеют манеру разгребать подстилку и укладываться прямиком на пол.

Аквариум на 18 литров с хаткой и беговым колесом.

В качестве временного решения можно поселить хомячка в большой банке, ведре или кастрюле, предварительно утеплив дно слоем ваты или опилок. Но с клеткой лучше не затягивать.

Скотчем коробку обмотайте, тогда не прогрызет
Клетку лучше сразу хорошую большую брать, несколько этажную, тогда можно нормально обустроить и никаких запахов и прочих проблем не будет, сли денег нет на авито поищите.

Можно, только ботинки из коробки вытащи.

В банку его. Коробку может прогрызть.

В ведро, или в выварку.
.

Ни в коем случае не сажайте его в банку. Углекислый газ тяжелее кислорода, он просто осядет на дне банки и хомяк задохнется.
Подойдёт неглубокое ведро, кастрюля, железная миска большая, всё это накрытое решеткой. Чтобы решетка не слетела, на неё можно пару книг накинуть. Главное подсыпать хомяку в это временное убежище газет, чтобы не бегал по железу