Кот у бабушки дома, чешется и вгрызается в шерсть но блох и прочих паразитов у него нет.

Таки есть. Помыть, прокапать, ошейник от блох.

Значит появились.... и еще их мало, раз не можете найти...

Значит есть. если хотите убедится, расчешите кота над белым полотенцем или листом бумаги. Увидите мелкие черные крупинки, насыпавшиеся с шерсти - это продукты жизнедеятельности блох и есть. Обработайте животное каплями на холку.

инстинктивно

Вероятно, демодекоз - подкожный клещ

Демодекоз – это паразитарное заболевание кожи. Часто встречается у собак, вызывается повышенным числом клещей Demodex, которые являются симбионтами и присутствуют в нормальной микрофлоре кожи.

Клещи могут жить в волосяных воликулах или на поверхности кожи.

Клещи передаются от матери щенкам в течение первых двух-трех дней после их рождения. Взрослые животные не могут заразиться демодекозом друг от друга. Развитие заболевания связано с иммунодефицитом. Полагают, что некоторые собаки предрасположены к наследственному дефекту Т-клеточного иммунитета различной степени сложности, угнетение выработки Т-лимфоцитов вызывается самими паразитами и соизмеримо с их количеством. Сопутствующая пиодермия способствует иммуносупрессии.

Статья преимущественно о собаках, но он бывает и у собак и у кошек. полностью статья здесь

Почитайте по ссылке и покажите кота врачу дерматологу, чтобы взял соскоб на анализ и назначил лечение

Если вы не видите блох, то это не значит, что их нет. Комариный укус чешется, когда комар давно улетел. Так и здесь. А ещё есть мелкие клещи, которых видно разве что под микроскопом.
Советую почитать про причины зуда на форуме белого клыка- там дерматологи классные.
Начать исключение причин с блох. Как их правильно травить можно почитать на зоофоруме в постах паразитолога Коняева.
Ну а дальше уже пищевая аллергия исключается, соскобы расчесов делаются (вернее, их можно даже до блох делать), расчесы из-за стресса, если ничего не помогает, говорят об атопии и пробуют подобрать терапию. Антигистаминки, гормоны- это уж как повезёт..