Как и почему люди стали держать в городских квартирах питомцев: собак, кошек и тд, и относиться к ним как к людям?

Почему только в квартирах? Историю одомашнивания почитайте. И в замках держали собак и кошек, и в усадьбах помещичьих, и гончих, и любых других охотничьих, и декоративных, история многих пород уходит корнями далеко в глубь веков.
А насчет отношения, как к людям - некоторые просто не понимают психику псовых, не умеют с ними правильно общаться, отсюда и отношение.

Кошка, наверное, стала жить ещё в пещере у первобытного человека - ей там хорошо, тепло, натоплено, а пищей ей служили мыши, досаждавшие человеку. В благодарность человек её подкармливал...
Ласка, согласно исследованиям П. Кроукрофта и сотр. (https://www.bookol.ru/domovodstvo_main/hobbi_i_remesla/30145/fulltext.htm ), истребляет мышей даже эффективнее, чем кошка, поскольку может проникнуть в узкие каналы, например, между мешками с зерном на складах, но на контакт она с человеком она не идёт, не ластится, мурлыча, и потому домашним компаньоном она не стала...

Собака с древнейших времен помогала человеку на охоте, сторожила его дом и участок - собаке свойственно гонять со своей территории посторонних. В зависимости от задач, вывели разные породы собак: охотничьих, сторожевых, ищеек, ездовых...
Морских свинок разводили ещё коренные жители доколумбовой Америки - "на мясо и ради забавы", как написано в сборнике "Жизнь животных" конца 1960х годов.
Позже других стали домашними любимцами крысы - в том числе обычные серые пасюки. "Они умненькие, как собачки" - говорят о них те, кто ими увлекается. А не наоборот...

Где живут, там и держат. И очень неверно полагать что раньше их держали только во дворах. Во дворах держали крестьяне, простых дворняг, с чисто практическими нуждами-для охраны и чтобы голос подавали. Это про собак. Кошки, так хоть даже в крестьянских избах жили в доме. Псу конурка, коту печурка-старое присловье. А кто жил в домах, замках, тот там же и держал, свидетельство тому-старинные картины, изображения. Собаки изображены и в комнатах рядом с хозяевами, и в пиршественных залах. Кошки то же самое. Оба вида это друзья компаньоны.

с тех пор, как додумались выводить породы собак. И кошек тоже. Процесс, требующий абсолютного отбора и контроля

Когда люди стали переселяться из частных домов в многоквартирные, то многие из них потащили за собой своих кошек и собак, хотя в условиях квартир они практически не нужны. Но у таких людей сформировалась привычка к этим животным, они хотели оставить их, не желая полностью расставаться с прежним укладом жизни. А уже у их детей постепенно выработалось совершенно неправильное отношение к кошакам и собакенам, которых они стали считать прямо-таки членами семьи, несмотря на то, что это явный бред.
Короче, чем больше люди отрывались от естественного, вырабатывавшегося веками образа жизни, становясь обитателями городских "человейников",тем больше у них съезжала крыша.
Собаки и кошки раньше играли вполне определенную, то есть функциональную роль, и никто их не держал просто так, как это делают сейчас, увы.