В чем разница между «узнать» и «изучить»? Если сказать «я хочу узнать и изучить социологию», это будет масло масляное?

Изучить - это научиться .

Это, конечно, близкие слова, почти синонимы, но изучение - скорее про процес (изучение не всегда заканчивается знанием), а знание - как результат процесса (при чём не обязательно в результате изучения, узнать что-то можно просто в результате случайного сообщения). Тогда как минимум грамотнее переставить слова местами "изучить и узнать". Но и это неправильно. Знают конкретные факты, точечные знания, конкретный вопрос. А к целой дисциплине больше подходит слово "познать" - это как-то объёмнее.

В итоге сочетание "изучить и узнать" возможно, например в таком контексте: "Я изучил все газеты за прошлый год (процесс) и узнал (итог процесса) интересный факт (точечный, конкретный)".

узнать это поверхностно, а изучить, это глубоко и подробно.
так что узнать и изучить, это значит сначала ознакомиться, а потом глубоко изучить если захочется.

Это как иметь и поиметь. Те же категории.

узнать – это поиметь какое-то знание, безотносительно способов его получения и глубины знакомства.
изучить – это осмысленно и целенаправленно ознакомиться с каким-то объёмом информации, получить достаточное представление о существенном в ней.

отнесённыя к одному предмету, эти слова выражают разные аспекты относительно времени:

сначала можно "что-то узнать" о дисциплине – т. е. получить поверхностное представление (однако в контексте имеется в виду, что это представление достаточно).

"изучение" – это процесс приложения усилий для систематическаго познания чего-то, подразумевается, что на это тратится время (даже чтобы изучить простую инструкцию, надо хотя бы пара минут).
поэтому обычно "изучить" относится к какой-то конкретной теме, вопросу, а не к науке в целом (потому что изучать можно всю жизнь, однако речь может идти об учебном курсе).

когда какой-то вопрос достаточно изучен и познан – можно сказать, что ты это "узнал". имеется в виду: владеешь на достаточном для ситуации уровне (например сказать "я знаю кунфу")

к одному слову одновременно применять "узнать" и "изучить" – избыточно и коряво: как например "провести и нарисовать линию" или "вырыть и выкопать канаву"

Мне вообще кажется странным сочетание "узнать социологию".

Вот "узнать, что такое социология" уже понятно.

узнать можно от кого-то на стороне, изучить значит углубиться в чего то, лучше всего исследовать все самому на себе

узнать что то можно и не имея такого намерения. а для изучения нужно прикладывать усилия.