Физика. Газовые законы.

Мыльный пузырь, заполненный горячим воздухом, неподвижно висит в атмосфере. Атмосферное давление р равно нормальному (р = 101 325 Па) , температура наружного воздуха t1 = 10°С [T1 = 283,3 K] . Определить температуру t2 (Т2) воздуха внутри пузыря, если известно, что плотность мыльного раствора ρ1 = 900 кг/м^3, толщина мыльной пленки d = 1 мкм = 1*10^(-6) м, а радиус мыльного пузыря r = 1 см = 1*10^(-2) м. Ответ выразить в градусах по шкале Цельсия с точностью до целых.

Решение (в пренебрежении толщиной стенки пузыря по сравнению с радиусом):

Условие равновесия (неподвижности) пузыря:
Fвыт = Рвозд + Рстенки. (***)
Плотность воздуха: pV = (m/μ)RT ==>
ρ = (m/V) = p*μ/(R*T). Молярная масса воздуха: μ = 0.029 кг/моль.
Значит, плотности воздуха:
ρ2 = 101325*0.029/(8.31*283.3) = 1,248 кг/м^3.
Внутри пузыря давление выше, чем снаружи, на Δp = 4σ/r = 4*35*10^(-3)/(1*10^(-2)) = 14 Па.
{{ коэффициент поверхностно го натяжения мыльного раствора: σ = 35 мН/м = 35*10^(-3) H/м.}}
ρ3 = 101339*0.029/(8.31*Т2). (это — внутри пузыря)
Вернёмся к (***):
Fвыт = ρ2*g*(4/3)*п*r^3 = 1.248*g*(4/3)*п*r^3
Pвозд = ρ3*g*(4/3)*п*r^3 = 101339*0.029/(8.31*Т2)*g*(4/3)*п*r^3.
Pстенки = ρ1*g*4п*r^2 = 900*g*4п*r^2*d.
Вставляем их в (***):
1.248*g*(4/3)*п*r^3 = 101339*0.029/(8.31*Т2)*g*(4/3)*п*r^3 + 900*g*4п*r^2*d. Сократим что можно:
1.248*(4/3)*r = 101339*0.029/(8.31*Т2)*(4/3)*r + 900*4*d
1.248*(4/3)*10^(-2)= 101339*0.029/(8.31*Т2)*(4/3)*10^(-2) + 900*4*10^(-6). — Решаем это уравнение относительно Т2.
Получаем: T2 = 361,6 K
Ответ: t2 = 361.6 - 273.3 = 88,3°C = 88°C.
NB: неполенись проверить.