Задача по астрономии

По второму закону Кеплера для двух тел, вращающихся вокруг центрального тела, кубы их больших полуосей относятся как квадраты периодов обращения: (R/r)³=(T/t)².
Для Луны период обращения вокруг Земли, называемый сидерическим месяцем, равен 27,322 дня, а расстояние Земля-Луна (бльшая полуось орбиты Луны) 384,4 тыс.км. Для спутника период обращения - 1 день. Вычисляем высоту спутника над поверхностью Земли в тысячах километрах (радиус Земли берём за 6,4 тыс.км):
384.4 / 27.322^(⅔) - 6.4≈35.975≈36.
Можно немного уточнить (хотя эмпирический
закон Кеплера сам по себе неточный !):
384,748 / 27,322^(⅔) - 6,371 ≈ 36.042
Ответ: ≈36 тысяч километров.

Высота орбиты космического аппарата, который совершает один оборот вокруг Земли за то же время, что и Земля делает оборот вокруг своей оси, составляет примерно 35 793 км.
T = 2π√(a^3/GM)
T = 86 400 секунд
a = (GMT^2/4π^2)^(1/3) - R
a = (6.67×10^-11 м^3/кг с^2 × 5.97×10^24 кг × (86 400 с)^2 / (4π^2))^1/3 - 6 371 км
a = 42 164 км
h = a - R
h = 35 793 км

Высота орбиты над поверхностью Земли, на которой космический аппарат совершает один оборот за то же время, что и Земля делает оборот вокруг своей оси, называется геостационарной орбитой. Для вычисления её высоты необходимо использовать законы Ньютона и уравнение движения тела под действием гравитационной силы.

Период обращения космического аппарата должен быть равен периоду обращения Земли вокруг своей оси, то есть 24 часа или 86400 секунд. Таким образом, мы можем использовать следующее уравнение:

T = 2π√(a³/GM)

где T - период обращения, a - радиус орбиты, G - гравитационная постоянная, M - масса Земли.

Подставляя известные значения и решая уравнение относительно a, мы получаем:

a = (GMT²/4π²)^(1/3)

Подставляя численные значения, получаем:

a = (6.67 × 10^-11 м^3/кг с² × 5.97 × 10^24 кг × (86400 с)^2 / 4π^2)^(1/3)

a = 42 164 км

Ответ: высота геостационарной орбиты над поверхностью Земли составляет примерно 42 164 км.