в какой срок работодатель обязан выплатить пособие по рождению ребёнка?

Нет.

Правомерно. Вы документы отдали в августе, правильно? А сейчас что? Август ещё!.
Месяц август в бухгалтерии закрывается в начале сентября и начисляется зарплата. Поэтому ждите в сентябрьскою зарплату. Сдали бы документы как положено - в июле, в августе бы уже получили.

В течение 10 дней с момента подачи больничного и заявления.

В случае, если работодатель не выплачивает пособие на ребенка, необходимо написать заявление на имя работодателя с требованием о выплате пособия по уходу за ребенком до 1,5 лет и указать в нем срок, в течение которого это пособие Вам не выплачивается, а также сумму задолженности.
Заявление должно быть составлено в 3-х экземплярах: одно оставить у себя, другое направить работодателю, а третье отправить в местный Фонд социального страхования, так как данный государственный орган отслеживает такие нарушения трудовых прав.
В случае личной передачи работодателю Вашего заявления или через канцелярию, на Вашем экземпляре заявления необходимо поставить дату получения Вашего заявления и подпись лица, его принявшего. Если же Ваше заявление не хотят принимать, то его можно направить по почте, заказным письмом с уведомлением. Обязательно укажите в заявлении срок, в течение которого работодатель должен дать Вам ответ на данное заявление (этот срок не может быть менее 3 рабочих дней) , свой почтовый адрес, а также условие о том, чтобы ответ на данное заявление был в письменной форме.
Если в течение указанного в заявлении срока работодателем так и не дан ответ на Ваше заявление, или его ответ Вас не устроил, и он не начал выплачивать Вам пособие, то смело обращайтесь в Государственную Инспекцию по труду с заявлением на организацию, в которой Вы работаете о невыплате пособия по уходу за ребенком до 1,5 лет или непосредственно в суд с исковым заявлением по тому же основанию.
К вышеназванному заявлению Вы приложите свое заявление работодателю и ответ на него (если он будет) , а также копии документов, подтверждающих наличие трудовых отношений между Вами и данной организацией.

у меня как только мы предоставили документы, то мужу на работе сразу выплатили деньги за малышку

Какого числа у вас обычно была з/пл, вот тогда и ждите.

Пособие по рождению ребенка выплачивается за счет средств Фонда социального страхования, и от работодателя не зависит когда они будут перечислены.