Как доказать (или показать) родителям, что я уже достаточно взрослая чтоб самой съездить в гости в другой город?

Эх, родители-родители. Одни эмоции и ни грамма логики. Меня отправили одну учиться за границу, но когда я дома - в 10 часов я должна быть дома или отзвониться. Мама может не звонить неделями, а потом 15 неотвеченных звонков во время пары - я перезваниваю, боюсь, что кто-то умер.. . ан-нет, это мама соскучилась и переживает.
Вы не зависите от родителей. Проблема только в их нервах. У меня бабушка устраивает истерики, если папы в 9 вечера нет дома, хотя папе 50 и он 25 лет не живёт с родителями)
Не спрашивать разрешения, а ставить перед фактом: Мама, я еду в карелию. Телефон будет при себе, со мной будут Вася, Петя, Маша, я буду отзваниваться каждый день в 9 часов вечера. Всё. Пара поездок и они привыкнут. Главное, отзваниваться в оговоренное время.

ставишь их перед фактом и едешь
они тебя отпустят когда тебе будет тридцатник )

Никогда они не перестанут беспокоиться и Вы всегда будете для них маленькой. Надо договариваться, что будете звонить, раз в день в такое-то время, отвечать на их звонки, и если Вам будет неоходим их совет или поддержка в незнакомом месте - Вы обязательно сразу с ними свяжитесь. Это по-началу, потом реже будете отчитываться.
Втихаря не езжайте - обязательно случиться что-то (закон подлости) и они потом будут Вам говорить - вот, мы были правы.