Но если существительное образовано от глагола давно, если оно утратило лексическую связь с «породившим» его глаголом, то найти такой глагол бывает очень сложно. В этом случае на помощь нам приходят этимологические словари.

Этимологические словари связывают происхождение существительного ДОСУГ с глаголом ДОСЯГАТЬ. Глагол ДОСЯГАТЬ и сейчас есть в русском языке, он устаревший, употребляется в книжных стилях в значении ДОСТИГАТЬ.
Существительное ДОСУГ, образованное от глагола ДОСЯГАТЬ, изначально имело значение «достижение» , «то, то достаётся, досталось» , «то, чего удалось достичь» . Но со временем это значение было утрачено и заменено другими.

Так что в современном русском языке существительное ДОСУГ и глагол ДОСЯГАТЬ, от которого оно было когда-то образовано, ОДНОКОРЕННЫМИ СЛОВАМИ НЕ
ЯВЛЯЮТСЯ: в существительном корень ДОСУГ-, а в глаголе корень ДОСЯГ-.
P.S. Помещайте подобные вопросы в категорию «Образование» , если хотите получать квалифицированные ответы, а к категории «Знакомство. Любовь. Отношения» он никакого отношения не имеет.