Парень предложил встретиться, а я не могу.

Именно-ЛОГИЧНО! Если ты ему действительно нравишься-приедет. Да ещё и с удовольствием! С собакой и погуляете...

Вместе выгуливайте собаку (ничего, надо будет - приедет). Надеюсь, в дальнейшем подобные обстоятельства не будут возникать у вас на постоянной основе, как только парень приглашает встретиться. Иначе так и выйдет, что вместо личной жизни у вас будет замкнутый круг с выгулом собачки и уходом за мамочкой. Вам следует начать менять свою жизнь...

В моё время, тёлки на свидание своих детей таскали, а ты собаку жалеешь.

Собаку знакомым отдать или взять с собой к парню.

пригласить погулять с собакой

Погуляй с мамой и пролечи пса.

пригласить парня к себе

обьясните ему ситуацию, что мешает выгуливать собаку вместе, например? можно найти много вариантов досуга

Объяснить парню ситуацию. Если вы с ним долгое время встречаетесь, то он поймет. Ничего страшного, пусть хоть раз погуляет с твоей собачкой :)

Пусть подождёт, ничего с ним не случится.

расскажите ему как есть.
должен понять.
или собаку с собой возьмите, правда что)

объясни как есть. он оценит твою чуткость и ответственность. ему будет приятно иметь такую девушку

Я не могу сегодня у меня важные дела. Только без обид
Как нибудь обязательно встретимся)

конечно с мамой остается / что за вопрос / если он парень с башкой то поймет

Так и скажи ему, что в этом такого?
В след. раз встретитесь