Аллах перенес муххамеда в Иерусалимскую мечеть аль Акса. Откуда она там взялась во времена муххамеда?

Думаю, что Вы не будете отрицать, что место нахождения мечети аль-Акса (храм Соломона) было известно как иудеям, так и христианам, ведь место как минимум историческое.
Из многих хадисов о переносе и вознесении пророка (мир ему и благословение Аллаха) мы знаем, что это место было известно не только иудеями христианам, и не только жителям аль-Кудса (Иерусалима) , но и многобожникам, жившим за пределами этой местности и иностранцам, которые имели возможность когда-либо посещать аль-Кудс.
Также нам известно, что место поклонения (масджид/мечеть) было отстроено и имело вид здания с окнами и дверями. Не буду приводить все эти хадисы, потому что Вам они все равно не довод, однако и обратного доказать Вы тоже не можете, а значит Ваша веросия не имеет больших оснований чем наше. Но если все таки пожелаете, скажите и я Вам дам ссылки.
Наличие здания построенного для поклонения иудеев на месте разрушенного храма отрицать никто не может, исламские источники говорят, что место для молений там было, а доказательств опровергающих эти данные не имеется, даже мало-мальски исторических, не говоря уже о серьёзных научных данных. Наоборот вполне логично, что евреи договорились с властями построить там для себя здание для молитв, которое они именуют синагогой. Договариваться они умеют и втираться в доверие власть имущим тоже, даже если идеологически они находятся в противоречии друг с другом. Так что за 600 лет наверное как-то могли что-то придумать, и тут нет ни чего сверхъестественного, однако и третим храмом они это здание называть не смели, так как это уже считалось бы наглостью и попахивало бы еврейским сепаратизмом, во-вторых, как мы понимаем здание не было столь грандиозным, чтобы евреи могли назвать его храмом Соломона и своей главной святыней. Ну а также, власти у них в аль-Кудсе не было и поэтому говорить о возрождении храма, во время оккупации тоже не было смысла. Но ничто из этого не говорит, о том, что на этом месте не могло существовало здания для поклонения и молитв иудейской или даже христианской ориентации.
Во время правления христиан, иудеи поклонялись в этом месте, но мы не знаем какого рода здание стояло там, но можно лишь полагать, что это было не значительное здание, которое не могло использоваться мусульманами как мечеть, поэтому Умар и решил построить новое здание, в той части в священной территории, которую он посчитал более подходящей для этого.

Сама же мечеть аль-Акса была построена намного раньше, а территория этой мечети считалась священной перед Аллахом издревле.

Сообщается от Абу Зарра, что он сказал: "Я спросил: "О посланник Аллаха, какая мечеть была установлена на земле первой? "
Он сказал: "Заповедная мечеть"
Я спросил: "А затем какая? "
Он ответил: "Мечеть аль-Акса".
Я спросил: "А сколько было между ними? "
Он ответил: "Сорок лет (передал аль-Бухари: 3115)

Сообщается от Абдуллы ибн Амра, что пророк (мир ему и благословение Аллаха) сказал: "Когда Сулейман ибн Дауд (Соломон сын Давида) завершил строительство Священного Дома, то попросил у Аллаха три вещи: чтобы его решение совпадало с решением Аллаха (в суждении между людьми) , власть, которую не подобало бы иметь никому после него, и чтобы каждый кто придёт к этой мечети, только желая совершить в ней намаз, тот растанется со своими грехами и станет (безгрешным) как в тот день когда его родила мать" Затем пророк (мир ему и благословение Аллаха) сказал: "Что касается первых двух, то они были дарованы ему, и я надеюсь, что было дано ему и третье" (Передал ибн Маджа: 1398)

Вы говорите, что Коран противоречит сам себе, и что во время жизни пророка (мир ему и благословение Аллаха) мечети аль-Акса еще не было, но Вам не кажется, что было бы странным, что его сподвижники слышали бы от него множество хадисов об этой мечети и никак не реагировали бы на то, что речь идёт о каком то абстрактном несуществующем объекте.

Христиане называют храмы церквями, мусульмане мечетями, тут ничего непонятного нет. То был христианский храм в Иерусалиме. Аль-Акса - отдаленная (араб.)

насколько мне известно мечеть Аль Акса был еще во времена пророка Иса мир ему.

Мечеть Аль-Акса (араб. المسجد الاقصى‎‎ — отдалённейшая мечеть) — мусульманский храм в Куддусе (Иерусалим) на Храмовой горе. Является третьей святыней Ислама после Мечети Аль-Харам в Мекке и Мечети Пророка (с. а. с. ) в Медине. С этим местом связаны Исра (ночное перемещение Пророка Мухаммада (с. а. с. ) из Мекки в Куддус (Иерусалим) и Мирадж (вознесение) . На месте Мечети Аль Акса Пророк Мухаммад (с. а. с. ) совершил в качестве имама молитву со всеми пророками, посланными до него.
Думаю ответ найдешь в этих словах.

На том месте была мечеть, потом на месте этой мечети построили Аль Аксу.