А как умирает душа с точки зрения православия?

Животные ведь не имеют образа Божия. Из земных творений только человек создан по образу Божию. Одним из свойств этого образа является бессмертие души.
Но души у животных смертны, как учил Палама. Да и св. Василий Великий предупреждал: "Убегай бредней угрюмых философов, которые не стыдятся почитать свою душу и душу пса однородными между собою".
Именно так и трактуется все это в православной вере.
Душа у животных с точки зрения православной церкви также есть. Однако никакого рая или ада да и вообще посмертия у животного не существует, душа животного просто исчезает (умирает) вместе с телом.

У них одна дорога -в новые тела в рай или ад.

Вы сами ответили - вместе с телом, по мере остывания оного.

Души патриархов и Римского папы будут заживо похоронены вместе с мёртвым телом и останутся в земле живыми!!!

по православию считается, что душа есть только у человека!

Ха-ха. Хороший вопрос. Он по сути обличает учение о бессмертии души, раз душа умирает. Кстати, в Библии тоже говорится: "Вот, все души принадлежат мне. Как душа отца, так и душа сына принадлежат мне. Душа, которая грешит, та умрёт. "
В этом стихе еврейское слово нефеш переводится словом «душа» , и это показывает, что умирает именно душа. Значит, нефеш, душа, — это человек, а не какая-то бесплотная часть человека, которая продолжает жить после смерти тела.
А в Псалме говорится, что человек, когда умирает, "возвращается в свою землю. В тот день исчезают его мысли".
А если посмотреть вообще начало сотворения, то душа это сам человек, или его тело и жизненная энергия, пока он живой. "Бог образовал из земной пыли человека и вдунул в его ноздри дыхание жизни, и человек стал живой душой. "
А когда это энергия перестает поддерживать тело, старость или несчастный случай, человек возвращается туда, где он и был - "в прах" или в несуществование. Но память об этом человеке находится в памяти Бога, который может и обещает восстановить или воскресить любого в будущем, когда наступит для этого время. Это главное учение Библии. "Все, находящиеся в гробах, услышат глас Сына Божия, и изыдут творившие добро в воскресение жизни... "
Иисус назвал смерть сном, а воскресение, как подняться (живым) из праха. Ни о кокой душе Иисус не учил. Животные тоже души, а не с душами. "И сказал Бог: «Пусть земля произведёт живых душ по их родам: домашнее животное, всякое двигающееся животное и земного зверя по его роду». "

на то они и животные....